называется представлением Ганкеля по петле. Легко видеть, что функция 1/Γ(z) не имеет полюсов в комплексной
плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей. С помощью этого интегрального представления можно получить фор-
мулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем
замену переменной τ = −t, тогда:
2πi (+0) 0
Z Z
−z
= exp(t)t dt = exp(−τ )τ −z exp(iπz)−
Γ(z) −∞ ∞
Z ∞
exp(−τ )τ −z exp(−iπz) = 2i sin(πz)Γ(1 − z),
0
то есть
π
Γ(z)Γ(1 − z) = . sin(πz)
1. 5 Предельная форма Эйлера
Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (3) представить
t n
exp(−t) = lim (1 − ) . n→∞ n
Тогда интегральное представление гамма-функции:
∞ t n (z−1)
Z
Γ(z) = lim (1 − ) t dt.
0 n→∞ n
1 Гамма-функция. 11
Оказывается, в этой формуле можно поменять пределы – предел ин-
тегрирования в несобственном интеграле и предел при n → ∞ внутри
интеграла. Перестановка пределов – тонкая операция. Здесь доказатель-
ство возможности этой перестановки опущено. Приведем результат:
n t n (z−1)
Z
Γ(z) = lim (1 − ) t dt.
n→∞ 0 n
Возьмем по частям этот интеграл:
n t n (z−1)
Z
Γn (z) = (1 − ) t dt =
0 n
tz−1+1 t n tz−1+1 t
Z
= (1 − )n |t=n
t=0 − (−1)(1 − )n−1 dt. z n 0 z n
Если провести эту процедуру n раз, получим:
n! nz
Γn (z) = .
(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)
Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-
функции:
n! nz
Γ(z) = n→∞
lim . (6)
(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)
1. 6 Формула для произведения
Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций
представляется через одну гамма-функцию.