Читать онлайн «Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями»

Автор О. М. Киселев

называется представлением Ганкеля по петле. Легко видеть, что функция 1/Γ(z) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей. С помощью этого интегрального представления можно получить фор- мулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной τ = −t, тогда: 2πi (+0) 0 Z Z −z = exp(t)t dt = exp(−τ )τ −z exp(iπz)− Γ(z) −∞ ∞ Z ∞ exp(−τ )τ −z exp(−iπz) = 2i sin(πz)Γ(1 − z), 0 то есть π Γ(z)Γ(1 − z) = . sin(πz) 1. 5 Предельная форма Эйлера Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (3) представить t n exp(−t) = lim (1 − ) . n→∞ n Тогда интегральное представление гамма-функции: ∞ t n (z−1) Z Γ(z) = lim (1 − ) t dt. 0 n→∞ n 1 Гамма-функция. 11 Оказывается, в этой формуле можно поменять пределы – предел ин- тегрирования в несобственном интеграле и предел при n → ∞ внутри интеграла. Перестановка пределов – тонкая операция. Здесь доказатель- ство возможности этой перестановки опущено. Приведем результат: n t n (z−1) Z Γ(z) = lim (1 − ) t dt.
n→∞ 0 n Возьмем по частям этот интеграл: n t n (z−1) Z Γn (z) = (1 − ) t dt = 0 n tz−1+1 t n tz−1+1 t Z = (1 − )n |t=n t=0 − (−1)(1 − )n−1 dt. z n 0 z n Если провести эту процедуру n раз, получим: n! nz Γn (z) = . (z + 1)(z + 2) . . . (z + n) Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма- функции: n! nz Γ(z) = n→∞ lim . (6) (z + 1)(z + 2) . . . (z + n) 1. 6 Формула для произведения Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию.