Читать онлайн «Математический анализ элементарных функций»

В этой формуле коэффициент при xk обозначается через Скт: Ст = y\ • Из формулы видно, что Сда=1, а С^"*1^^. Вообще Полученное представление для (\г\-х)т является частным случаем бинома Ньютона, которое из него легко получается. (Ь \т ^ Н ) • Применяя пред- представление для A + л:)т при х = —, получаем 166 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV Это и есть формула бинома Ньютона. 3. Представление функции -г——. Представление функции ]Л -\-х. Ь3'5. . ,Bд>-3) „ , ^^ х ¦+¦*' § 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ВБЛИЗИ НУЛЯ 167 б. Представление функций sin л: и cos*. Отсюда получаем Аналогично для функции cos л: получаем Полученные формулы для sin x и cos x могут служить для вычисления значений этих функций с большой степенью точности. 6. Представление функций е* и а*. Для функции а^ имеем ах = e*In a и, следовательно, 7. Представление функций 1пA-(-дг) и loga(l -\-x). A-НгЧ /<«) W^C-l)"-1 (и-1)! 168 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV По формуле Тейлора получаем Для функции loga(l+x) имеем loga(l + *) = 1 и, следовательно, X2 8. Таблица простейших представлений основных эле- элементарных функций по формуле Тейлора. 3. 4. si 5. cos л; 6. ех 7. а* 8. 9. 1 — 1+ х3 з х2 В каждой из этих формул выписан член, следующий за главной линейной частью функции. Величина f является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем предшествующий ей член. ~~