П. Масловым [70]. В случаях, допускающих разделение переменных, краевая
задача становится одномерной, а роль переходных линий
играют точки поворота. Исследование точек поворота в задачах
теории оболочек начинается с работ Н. А. Алумяэ [2, 3]. Если
наиболее слабая линия не совпадает с краем оболочки,
приходим к случаю двух близких точек поворота. Для построения
формы потери устойчивости использован одномерный вариант
метода В. П. Маслова. Если же наиболее слабая линия совпадает
с краем оболочки, имеем точку поворота, расположенную
вблизи края. Для построения полубезмоментных форм потери устойчивости
цилиндрических и конических оболочек, локализованных вблизи
наиболее слабой образующей, предложен алгоритм, основанный
на асимптотическом разделении переменных. При этом форма
потери устойчивости в окружном направлении аналогична
получающейся по методу В. П. Маслова. Решения представлены в виде формальных асимптотических
рядов различной структуры по степеням относительной толщины
оболочки. Указываются алгоритмы построения коэффициентов
этих рядов, а во многих случаях для нескольких первых
членов этих рядов приводятся явные выражения. Как правило, эти
ряды расходятся. Отрезки этих рядов с ростом числа членов
удовлетворяют уравнениям и граничным условиям со все
возрастающей точностью. Недоказанным осталось утверждение,
заключающееся в том, что погрешность, возникающая при замене
искомой функции несколькими первыми членами ряда, имеет
порядок первого отброшенного его члена. ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
В этой главе приводятся необходимые для дальнейшего
изложения соотношения из теории поверхностей и их деформаций,
уравнения равновесия теории оболочек, соотношения упругости
и некоторые приближенные варианты этих уравнений и
соотношений.
С выводом и подробным обсуждением этих уравнений
можно познакомиться по монографиям [21, 29, 32, 37, 40, 80,
87, 136] и многим другим. § 1. 1. Элементы теории поверхностей
На срединной поверхности оболочки до деформации введем
систему криволинейных координат а, |3, совпадающих с линиями
кривизны. Произвольная точка М поверхности определяется
радиус-вектором г = г (а, 3). Введем местную ортогональную
систему координат с ортами е. , е„, п, где
е^/Г'Зг/За, е2 = В~]дг/д(3,
n = elXe2, (1. 1. 1)
А= |9г/9а|, В= |Эг/93|. Первая и вторая квадратичные формы поверхности таковы:
2 2
I = ds2 = A2da. 2 + B2d(32, II = 4- da2 + f- d$2, (1. 1. 2)
*i R2
где ds — элемент длины дуги кривой на поверхности,
Rv R„ — главные радиусы кривизны; будем использовать
также обозначение k. = R~ — главные кривизны поверхности. Величины А, В, R. , R„, являющиеся функциями координат а,
/3, связаны соотношениями Кодацци — Гаусса:
a mi 1 ал
(1,1. 3)
вц{т)-т24 (г^^'
i_ г а п зет , а м э/111 - _ _!_
Л8 [а^ [л a^J + а? [в 31J J ~ r r2 ■
Здесь и в дальнейшем символ «—> означает, что имеет
место еще одно соотношение, получающееся из написанного
циклической перестановкой а, (3; А, В; 1, 2. Там, где это возможно, выбираем криволинейные координаты
таким образом, чтобы орт п был внутренней нормалью к
оболочке.