Читать онлайн «Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы»

П. Масловым [70]. В случаях, допускающих разделение переменных, краевая задача становится одномерной, а роль переходных линий играют точки поворота. Исследование точек поворота в задачах теории оболочек начинается с работ Н. А. Алумяэ [2, 3]. Если наиболее слабая линия не совпадает с краем оболочки, приходим к случаю двух близких точек поворота. Для построения формы потери устойчивости использован одномерный вариант метода В. П. Маслова. Если же наиболее слабая линия совпадает с краем оболочки, имеем точку поворота, расположенную вблизи края. Для построения полубезмоментных форм потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек, локализованных вблизи наиболее слабой образующей, предложен алгоритм, основанный на асимптотическом разделении переменных. При этом форма потери устойчивости в окружном направлении аналогична получающейся по методу В. П. Маслова. Решения представлены в виде формальных асимптотических рядов различной структуры по степеням относительной толщины оболочки. Указываются алгоритмы построения коэффициентов этих рядов, а во многих случаях для нескольких первых членов этих рядов приводятся явные выражения. Как правило, эти ряды расходятся. Отрезки этих рядов с ростом числа членов удовлетворяют уравнениям и граничным условиям со все возрастающей точностью. Недоказанным осталось утверждение, заключающееся в том, что погрешность, возникающая при замене искомой функции несколькими первыми членами ряда, имеет порядок первого отброшенного его члена. ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК В этой главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения соотношения из теории поверхностей и их деформаций, уравнения равновесия теории оболочек, соотношения упругости и некоторые приближенные варианты этих уравнений и соотношений. С выводом и подробным обсуждением этих уравнений можно познакомиться по монографиям [21, 29, 32, 37, 40, 80, 87, 136] и многим другим. § 1. 1. Элементы теории поверхностей На срединной поверхности оболочки до деформации введем систему криволинейных координат а, |3, совпадающих с линиями кривизны. Произвольная точка М поверхности определяется радиус-вектором г = г (а, 3). Введем местную ортогональную систему координат с ортами е. , е„, п, где е^/Г'Зг/За, е2 = В~]дг/д(3, n = elXe2, (1. 1. 1) А= |9г/9а|, В= |Эг/93|. Первая и вторая квадратичные формы поверхности таковы: 2 2 I = ds2 = A2da. 2 + B2d(32, II = 4- da2 + f- d$2, (1. 1. 2) *i R2 где ds — элемент длины дуги кривой на поверхности, Rv R„ — главные радиусы кривизны; будем использовать также обозначение k. = R~ — главные кривизны поверхности. Величины А, В, R. , R„, являющиеся функциями координат а, /3, связаны соотношениями Кодацци — Гаусса: a mi 1 ал (1,1. 3) вц{т)-т24 (г^^' i_ г а п зет , а м э/111 - _ _!_ Л8 [а^ [л a^J + а? [в 31J J ~ r r2 ■ Здесь и в дальнейшем символ «—> означает, что имеет место еще одно соотношение, получающееся из написанного циклической перестановкой а, (3; А, В; 1, 2. Там, где это возможно, выбираем криволинейные координаты таким образом, чтобы орт п был внутренней нормалью к оболочке.