Читать онлайн «Недостижимость и субнедостижимость. Часть 2»

Глава II Специальная теория: матричные функции 7 Матричные δ -функции Здесь мы собираемся осуществить дальнейшее развитие идеи доказательства основной теоремы и модифицировать простей- <α1 шие матричные функции Sχf (см. определение 5. 14 [29]) таким образом, чтобы их новый специальные варианты – так называемые α-функции – доставили требуемое противоречие: они будут обладать свойством ⋖-монотонности и в то же время будут лишены этого свойства. Напомним, что простейшие матричные функции, которые рассматривались в § 5 [29], обладают свойством монотонности, но оказалось, что непосредственное доказательство требуемого противоречия – доказательство их немонотонности – препят- ствуется следующим обстоятельством: некоторые существен- ные свойства нижних уровней универсума не распротраняются до кардиналов скачка матриц на их носителях, которые явля- ются значениями таких матричных функций. С целью разрушить это препятствие мы снабдим такие мат- рицы их соответствующими диссеминаторами, и в результате простейшие матричные функции будут преобразованы в их бо- лее сложные формы, α-функции. Однако непосредственное формирование этих функций пред- ставляется значительно усложнённым и некоторые важные их 13 14 Глава II. Специальная теория особенности немотивированными. Поэтому, чтобы представить их введение более прозрачным об- разом, мы предварительно предпримем второе приближение к идее доказательства основной теоремы и обратимся к их более простой форме, то есть к δ-функциям. С этой цеью мы применим результаты §6 [29] для m = n + 1 и фиксированного уровня n > 3, но понятие диссеминатора должно быть уточнено; все диссеминаторы в дальнйшем будут уровня n + 1 (см. определение 6. 9 [29]). Определение 7. 1 Пусть γ < α < α1 ≤ k. 1) Мы обозначаем через K∀<α n 1 (γ, α) формулу: <α1 SINn−1 (γ) ∧ ∀γ ′ ≤ γ (SINn<α1 (γ ′ ) −→ SINn<α (γ ′ )) . Если эта формула выполняется константами γ, α, α1 , то мы будем говорить, что α сохраняет SINn<α1 -кардиналы ≤ γ ниже α1 . Если S – это матрица на носителе α и её кардинал пред- скачка αχ⇓ после χ сохраняет такие кардиналы, то мы так- же будем говорить, что S на α сохраняет эти кардиналы ниже α1 . 2) Мы обозначаем через K∃n+1 (χ, δ, γ, α, ρ, S) следующую Πn−2 - формулу: σ(χ, α, S) ∧ Lj <α (χ) ∧ χ < δ < γ < α ∧ S ◃ ρ ≤ χ+ ∧ ρ = ρ^∧ <α⇓ χ <α⇓ ∧SINn (δ) ∧ SINn+1χ [< ρ] (δ). 7. Матричные δ -функции 15 Здесь, напомним, Πn−2 -формула σ(χ, α, S) означает, что S это сингулярная матрица на её носителе α, редуцированная к кардиналу χ (см. определение 5. 7 [29]); δ это диссемина- тор для S на α с базой данных ρ уровня n+1 (определение 6. 9 [29]); верхние индексы < αχ⇓ означают ограничение фор- мульных кванторов кардиналом предскачка αχ⇓ (см. также определения 2. 3, 5. 9 [29]); ρ^ это замыкание ρ относительно функции пары; и Lj <α (χ) это Δ1 -свойство насыщенности кардинала χ ниже α (см. определение 6. 9 4) [29]): ( sin◃χ ) ( sin◃χ ) χ < α ∧ SIN <α (χ) ∧ Σrng S ~ ~ ∈ Bχ ∧ sup dom S = χ. n−1 n n Мы обозначаем через K<α1 (χ, δ, γ, α, ρ, S) формулу: K∀<α n 1 (γ, αχ⇓ ) ∧ K∃◃α n+1 (χ, δ, γ, α, ρ, S) ∧ α < α1 . 1 3) Если эта формула выполняется константами χ, δ, γ, α, ρ, S, α1 , то мы будем говорить, что χ, δ, α, ρ, S сильно допустимы для γ ниже α1 . Если некоторые из них фиксированы или подразумеваются контекстом, то мы будем говорить, что остальные также сильно недостижимы для них (и для γ) ниже α1 . 4) Матрица S называется сильно диссеминаторной матри- цей или, короче, δ-матрицей, сильно допустимой на носителе α для γ = γτ<α1 ниже α1 , если она обладает некоторым дис- семинатором δ < γ с базой ρ, сильно допустимым для них (также ниже α1 ).