Читать онлайн «Парадоксы мира нестационарных структур»

Автор Курдюмов С.П.

Отсюда следует, например, что если в начальный момент уп(0) были такими, как показано на верхнем рисунке 1. 2, то при этом a2(t) = = ... =aN(t)=0 и ai(0=cos (ы\(). Именно величины а ДО (их мы будем далее называть амплитудами гармоник) характеризуют степени свободы в этой задаче. Мы выяснили, что если в начальный момент времени ар(0) = 1, аД0)=0 при p=f=j, то аДО останутся равными нулю во все последующие моменты времени. Такое решение описывает простейшую упорядоченность в нашей системе, при которой все шарики синхронно колеблются по закону y„(0=cos(2-V£sin (oiv^-)xOX Xsin {щ:) Однако в реальной кристаллической решетке всякое упорядоченное движение с 5 течением времени переходит в хаотические, тепловые колебания атомов. С этим противоречием столкнулся в 1914 году голландский физик Дебай при создании теории неэлектропроводного кристалла. Чтобы объяснить его, он предположил, что здесь существенную роль играет нелинейность. По-видимому, нельзя считать, что пружинки описываются линейным уравнением, следующим из закона Гука, нужно учитывать нелинейные члены. Создание квантовой механики, а с ней и квантовой теории твердого тела отодвинуло на второй план проверку гипотезы Дебая. Тем более показательно, что проверкой этой гипотезы занялся в 1954 году один из создателей квантовой механики итальянский физик Энрико Ферми. О его блестящей интуиции и глубоком понимании теоретической физики и сейчас напоминают многие названия: поверхность Ферми в теории твердого тела, ферми- частицы или фермионы в квантовой статистике, фермием назван один из последних элементов периодической системы. В пятидесятые годы* Ферми часто говорил коллегам, что в будущем фундаментальные физические теории, возможно, будут включать нелинейные уравнения. При этом важная роль, по его мнению, должна будет принадлежать математике, необходимой для понимания нелинейных систем. Э. Ферми со своими коллегами Дж. Пастой и С. Уламом предположили, что сила, с которой действует пружинка, имеет такой вид: F(yn,yn+l) = =k(yn+i—yn)+ka(yn+l—yn)3. Это дает вместо (1.
1) следующую систему уравнений: +ka\(yn+x—yn)3— (yn— */„_,) 3],( 1-5) л=1,2. 3 М Иногда эту систему называют кубической решеткой. Расчеты проводились с помощью одной из первых вычислительных машин. Решалась система 64 дифференциальных уравнений (т. е. в формуле (1. 5) N было равно 64). Решение этой задачи также можно разложить по гармоникам, т. е. найти величины а,(1) по формуле (1. 3). Однако в силу нелинейности производ- ная -г^-зависит от поведения • всех at aiti—\ N, и вместо (1. 4) получаются довольно сложные соотношения. Исследователи предположили, что а\(0)фО, а2(0)=а3(0)=... =а„(0)=0 и ожидали, что довольно быстро энергия распределится поровну между всеми а: в соответствии с гипотезой Дебая. Однако увидели они совершенно другую картину. «Здесь можно сказать, что результаты наших расчетов обнаруживают особенности, которые с самого начала представлялись нам удивительными»,— писали авторы работы.