Читать онлайн «Матричный анализ и линейная алгебра»

E. E. Тыртышников матричный анализ и ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Москва 2004-2005 Оглавление Предисловие 1 Лекция 1 5 1. 1 Линейные отображения и матрицы 5 1. 2 Умножение матриц 5 1. 3 Ассоциативность умножения матриц 6 1. 4 Некоммутативность умножения матриц 6 1. 5 Сложение матриц и умножение на число 6 1. 6 Умножение блочных матриц 7 1. 7 Вычислительный аспект умножения матриц 7 1. 8 Хороша ли программа? 7 1. 9 Метод Винограда 8 1. 10 Метод Штрассена 8 1. 11 Рекурсия для п х п-матриц 9 Лекция 2 11 2. 1 Множества и элементы 11 2. 2 Отображения, функции, операторы 11 2. 3 Алгебраические операции 12 2. 4 Ассоциативность и скобки 12 2. 5 Ассоциативность при умножении матриц 13 2. 6 Группы 13 2. 7 Примеры абелевых грунн 14 2. 8 Группа певырожденпых диагональных матриц 14 2. 9 Группа певырожденпых треугольных матриц 14 2. 10 Подгруппы 15 2. 11 Степени элемента 15 2. 12 Циклические группы 15 Лекция 3 17 3. 1 Система линейных алгебраических уравнений 17 3. 2 Линейные комбинации 17 3. 3 Линейная зависимость 18 3. 4 Линейная независимость 18 3. 5 Транзитивность линейной зависимости 19 3. 6 Монотонность числа линейно независимых векторов 19 3. 7 Базис и размерность 20 3. 8 Дополнение до базиса 21 3. 9 Существование базиса 21 11 ОГЛАВЛЕНИЕ 3. 10 Совместность системы линейных алгебраических уравнений 21 Лекция 4 4. 1 4. 2 4. 3 4. 4 4. 5 4. 6 Лекция 5 5. 1 5. 2 5. 3 5. 4 5. 5 5. 6 5. 7 5. 8 Лекция 6 6. 1 6. 2 6. 3 6. 4 6. 5 6. 6 6. 7 6. 8 Лекция 7 7. 1 7. 2 7. 3 7. 4 7. 5 7. 6 7. 7 7. 8 7. 9 7. 10 Лекция 8 8. 1 8. 2 8. 3 8. 4 8. 5 8. 6 23 Индикатор линейной зависимости 23 Подстановки и перестановки 23 Циклы и транснозиции 24 Четность подстановки 26 Единственность индикатора линейной зависимости 27 Определитель 28 29 Определитель транспонированпой матрицы 29 Определитель как функция столбцов (строк) матрицы 29 Существование индикатора линейной зависимости 31 Подматрицы и миноры 31 Замечание о подстановках 32 Разбиение множества подстановок на подмножества 32 Теорема Лапласа 33 Определитель блочно-треугольной матрицы 34 35 Обратная матрица 35 Критерий обратимости матрицы 35 Обращение и транснонировапие 36 Группа обратимых матриц 37 Обращение невырож;денной матрицы 37 Правило Крамера 38 Определитель произведения матриц 38 Обратимость и невырожденность 39 41 Разделение неременных и матрицы 41 Скелетное разлож;ение 41 Ранг матрицы 42 Окаймление обратимой подматрицы 42 Теорема о базисном миноре 43 Ранги и матричные операции 44 Однородная система линейных алгебраических уравнений 45 Теорема Кронекера-Канелли 47 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений . . 47 Неустойчивость ранга 47 49 Исключение неизвестных 49 Элементарные матрицы 49 Ступенчатые матрицы 51 Приведение к ступенчатой форме 51 Приведение к диагональной форме 52 Эквивалентные матрицы 52 E. E. Тыртышников iii 8. 7 Метод Гаусса и Ь[/-разложение 53 8. 8 Ь[/-разложение и строго регулярные матрицы 54 Лекция 9 55 9. 1 Метод координат 55 9. 2 Направленные отрезки 56 9. 3 Отногиение эквивалентности 57 9. 4 Свободный вектор 58 9. 5 Линейные операции над векторами 58 9. 6 Координаты вектора 59 9. 7 Изоморфизм и линейная зависимость 60 9. 8 Коллинеарные и компланарные векторы 60 9. 9 Прямая па плоскости 61 9. 10 Плоскость в пространстве 62 9. 11 Преобразование координат 62 9. 12 Полуплоскости и полупространства 63 Лекция 10 65 10. 1 Скалярное произведение геометрических векторов 65 10. 2 Скалярное произведение п координаты 65 10. 3 Об обобщениях 66 10. 4 Ориентация системы векторов 67 10. 5 Векторное и смегиапное произведения 67 10. 6 Векторное произведение в декартовых координатах 69 10. 7 Смегиапное произведение в декартовых координатах 69 10. 8 Нормали к прямой п плоскости 70 10. 9 Расстояние от точки до прямой па плоскости 70 10. 10 Расстояние от точки до плоскости 71 10. 11 Критерии параллельности вектора прямой и плоскости 71 Лекция 11 73 11. 1 Линейные пространства 73 11. 2 Примеры бесконечномерных линейных пространств 74 11. 3 Примеры конечномерных линейных пространств 75 11. 4 Базис и размерность 76 11. 5 Подпространства линейного пространства 77 11. 6 Сумма п пересечение иодиространств 77 Лекция 12 79 12. 1 Разложение но базису 79 12. 2 Изоморфизм линейных пространств 80 12. 3 Пространство многочленов 80 12. 4 Прямая сумма иодиространств 82 12. 5 Дополнительные пространства и проекции 83 12. 6 Вычисление иодиространства 84 iy ОГЛАВЛЕНИЕ 87 Линейные многообразия 87 Аффинные множества 88 Гинернлоскости 88 Полупространства 89 Выпуклые множества 90 93 Комплексные числа 93 Комплексная плоскость 94 Преобразования плоскости 95 Корпи из единицы 97 Группа корней степени п из единицы 97 Матрицы с комплексными элементами 98 99 Кольца и поля 99 Делители нуля 100 Кольцо вычетов 101 Вложения и изоморфизмы 102 Число элементов в конечном ноле 103 Поле частных 103 105 Линейные пространства над полем 105 Многочлены над полем 106 Кольцо многочленов 107 Деление с остатком 108 Паибольгипй обгцпй делитель 108 Значения многочлена и корни 109 Присоединение корня 110 113 Комплексные многочлены 113 Последовательности комплексных чисел 113 Непрерывные функции на комплексной плоскости 114 Свойства модуля многочлена 114 Основная теорема алгебры 115 Разложение комплексных многочленов 116 Разложение вегцествепных многочленов 117 119 Формулы Виета 119 Многочлены от п переменных 119 Лексикографическое упорядочение 120 Симметрические многочлены 120 Ньютоновы суммы 122 Лекция 13 13. 1 , 13. 2 13. 3 13. 4 13. 5 Лекция 14 14. 1 14. 2 14. 3 14. 4 14. 5 14. 6 Лекция 15 15. 1 15. 2 , 15. 3 15. 4 15. 5 15. 6 Лекция 16 16. 1 . 16. 2 16. 3 16. 4 , 16. 5 16. 6 : 16. 7 Лекция 17 17. 1 17. 2 17. 3 17. 4 ' 17. 5 ' 17. 6 17. 7 Лекция 18 18. 1 ' 18. 2 18. 3 , 18. 4 ' 18. 5 E.