Читать онлайн «Линейная алгебра»

УДК 512. 8 И 46 ББК 22. 143 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1980 ГОД ИЛЬИН В. А. , ЛОЗНЯК Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. : Для вузов. — 5-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0129-3 (Вып. 4). Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова. Учебник создан на ба- базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета. Содержание книги составляют тео- теории матриц и определителей, конечномерных линейных и евклидовых пространств и линейных операторов в этих пространствах, билинейных и квадратичных форм, тензоров, вопросы классификации поверхностей второго порядка и теории пред- представления групп. Воспроизводится с 3-го изд. A984 г. ) 4-е изд. — 1999 г. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Ил. 1. ISBN 5-9221-0129-3 (Вып. 4) ISBN 5-9221-0134-X © ФИЗМАТЛИТ, 1999, 2001, 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 9 Введение 11 Глава 1. Матрицы и определители 12 § 1. Матрицы 12 1. Понятие матрицы A2). 2. Основные операции над матрицами и их свойства A3). 3. Блочные матрицы A7). § 2. Определители 19 1. Понятие определителя A9). 2. Выражение определителя непо- непосредственно через его элементы B6). 3. Теорема Лапласа B7). 4. Свойства определителей C0). 5. Примеры вычисления опреде- определителей C3). 6. Определитель суммы и произведения матриц C7). 7. Понятие обратной матрицы C9). § 3. Теорема о базисном миноре матрицы 41 1. Понятие линейной зависимости строк D1). 2. Теорема о базисном миноре D2). 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя D4). Глава 2. Линейные пространства 46 § 1. Понятие линейного пространства 46 1. Определение линейного пространства D6). 2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств E0). § 2. Базис и размерность линейного пространства 51 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного простран- пространства E1). 2. Базис и координаты E3). 3. Размерность линейного пространства E5). 4. Понятие изоморфизма линейных пространств E7). § 3. Подпространства линейных пространств 58 1. Понятие подпространства и линейной оболочки E8). 2. Новое определение ранга матрицы F1). 3. Сумма и пересечение подпро- подпространств F2). 4. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств F5). § 4. Преобразование координат при преобразовании базиса п-мер- ного линейного пространства 67 1. Прямое и обратное преобразование базисов F7). 2. Связь меж- между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат F8). Глава 3. Системы линейных уравнений 70 § 1. Условие совместности линейной системы 70 1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения G0). 2. Нетривиальная совместность однородной системы G3). 3. Усло- Условие совместности общей линейной системы G4). § 2. Отыскание решений линейной системы 75 1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основ- основной матрицы, отличным от нуля G6). 2.