Читать онлайн «Что такое число?»

А. А. Кириллов ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО ? А. А. Кириллов ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО? М. : ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА «ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА» ВО «НАУКА» 1993 Представляет расширенный вариант лекции, прочитанной на заседании студенческого лектория Московского математического общества. Основная цель — показать, какой смысл придается понятию числа в современной математике. Изложены основные понятия />-адического и нестандартного анализа, объяснено, что такое кватернион и числа Кэли. Изложение подводит читателя к понятию алгебр фон Неймана, а также к идее «суперматематики» — исчисления антикоммутирующих переменных. Для студентов, аспирантов и научных работников, интересующихся приложениями математики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Глава 1. Цепочка N c Z c Q c R c C c H c O 5 § I . O T N K Z H O T Z K Q : группа Гротендика, тела Ли и производные 5 категории § 2. От Q к R: идея пополнения, />-адические числа и ад ели 11 § 3. От Q к R: идея порядка; нестандартный анализ 22 § 4. От R к С, Н и О: алгебры Клиффорда, уравнение Дирака и 28 проективная плоскость над полем из двух элементов Глава 2. Другие варианты чисел 34 § 5. Матрицы в роли чисел 35 § 6. Непрерывные матрицы и факторы фон Неймана 46 § 7. Что такое суперсимметрия? 58 § 8. Решеточное дифференциальное и интегральное исчисление 69 Цитированная литература 78  ПРЕДИСЛОВИЕ Ж плп вятские мужики плохо, но этого не знали... И думали, что живут хорошо, не хуже других. В. Крупип. Живая вода Когда школьник впервые знакомится с математикой, ему говорят, что это — наука о числах и геометрических фигурах. Вузовский курс математики обычно начинается с аналитической геометрии, основная цель которой — выразить геометрические понятия на языке чисел. Таким образом, получается, что числа — это единственный пред- мет изучения в математике. Правда, если вы откроете современный научный жур- нал и попробуете прочитать какую-нибудь статью по ма- тематике, то вполне вероятно, что вы не встретите в этой статье ни одного числа «в чистом виде». Вместо них речь идет о множествах, функциях, операторах, категориях, мотивах и т. д. Однако, во-первых, почти все эти понятия так или иначе опираются па понятие числа, а во-вторых, конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Поэтому мне кажется небесполезным обсудить со сту- дентами-математиками вопрос, поставленный в заго- ловке этой книги. Разумеется, одно только описание исторического раз- вития понятия числа или обсуждение его философского смысла требует много времени и места.