Читать онлайн «130 нестандартных задач»

библиотечка Приложение к журналу КВАНТ «Квант» №2/2012 ВЫПУСК А Толпыго НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Из запасников математических олимпиад Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 51(07) Серия «Библиотечка «Квант» ББК 22 1 основана в 1980 году Т52 Толпыго А. Т52 130 нестандартных задач - М. : Издательство МЦНМО, 2012. - 160 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 124. Приложение к журналу «Квант» №2/2012. ) ISBN 978-5-4439-0301-9 Предлагаемые задачи составлялись на протяжении более чем 40 лет для различных олимпиад. Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение требует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размышлений. Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков, школьников старших классов, студентов педагогических специальностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математических задач. ББК 22. 1 ISBN 978-5-4439-0301-9 ПРЕДИСЛОВИЕ В основу книги, предлагаемой читателю, легла вышедшая в 2008 году в издательстве МЦНМО книга «96 нестандартных задач». Настоящее издание, однако, радикально переработано. Прежде всего, исправлены замеченные опечатки и ошибки, которых оказалось удручающее количество (начиная с обложки, согласно которой книга называлась просто «Девяносто шесть»); исключено несколько малоудачных задач, но главное - добавлено около сорока новых задач. Таким образом, фактически читателям предлагается почти что новая книга. В частности, в книге возник новый раздел «Неоконченные задачи». Это задачи, которые автору не удалось решить полностью, и известна только часть решения - иногда почти полное решение, иногда только полезные соображения к решению. Читателю рекомендуется сначала самостоятельно подумать над этими задачами, а потом непременно заглянуть в раздел решений и сравнить, что в этой задаче получилось, что - нет. Почти все задачи придуманы автором книги. Впрочем, в отношении задач «авторское право» не действует, в частности, и потому, что порой задачу, составленную одним, корректирует (а иной раз корежит) другой, решение находит третий... Вот и в этом сборнике есть несколько задач, насчет авторства которых нет полной ясности, или которые придумал автор, а решил кто- то другой, а иногда - наоборот. В принципе такие задачи автор вставлять избегал, но несколько задач, в которых авторство «сомнительно», все-таки вставил - очень уж они понравились автору, и надеюсь, понравятся и читателям. Кроме того, в книге помещено дополнение: статья «Что такое математика, или Математика для нематематиков». Хочу выразить благодарность сотрудникам журнала «Квант» за многолетнее сотрудничество, которое, между прочим, породило некоторые задачи сборника. Но особо хочу поблагодарить инициатора настоящего издания Сергея Дориченко. Л. Толпыго Сокращения ТГ - Турнир городов ВМШ - вечерняя математическая школа, СО - студенческая олимпиада, Μ МО - Московская математическая олимпиада, УРО - Украинская республиканская олимпиада. Задачи отмечаются звездочками * - легкая, *** - трудная, ** - средняя, **** - очень трудная или решение неизвестно.