Преобразования гиперкомплексных чисел
Евгений Каратаев
15 августа 2020 г.
2
Оглавление
Предисловие 7
1 Гиперкомплексные числа 11
1. 1 Процедура Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. 2 Сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1. 3 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. 4 Формула Эйлера для комплексных чисел . . . . . . . . . . 34
1. 5 Паракомплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1. 6 Формула Эйлера для паракомплексных чисел . . . . . . . 49
1. 7 О сопряжении паракомплексных . . . . . . . . . . . . . . . 56
1. 8 Дуальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1. 9 Формула Эйлера для дуальных чисел . . . . . . . . . . . . 63
1. 10 Уравнения Коши-Римана для двумерных чисел . . . . . . 65
1. 11 Бикомплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1. 12 Уравнения Коши-Римана для бикомплексных чисел . . . . 81
1. 13 Кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1. 14 Формула Эйлера для кватернионов . . . . . . . . . . . . . 94
1. 15 Внутреннее сопряжение кватернионов . . . . . . . . . . . . 97
1. 16 Дуальные кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1. 17 Потенцирование дуальных кватернионов . . . . . . . . . . 105
1. 18 Бикватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1. 19 Потенцирование бикватернионов . . . . . . . . . . . . . . . 116
1. 20 Уравнения Коши-Римана для бикватернионов . . . . . . . 120
3
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
1. 21 Делители нуля в бикватернионах . . . . . . . . . . . . . . 135
1. 22 Исключительные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1. 23 Кватернионы и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1. 24 Оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1. 25 Матричное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1. 25. 1 Представление комплексных чисел . . . . . . . . . 155
1. 25. 2 Представление паракомплексных чисел . . . . . . . 158
1. 25. 3 Представление дуальных чисел . . . . . . . . . . . 160
1. 25. 4 Представление 2x2 бикомплексных чисел . . . . . . 163
1. 25. 5 Представление 4x4 бикомплексных чисел . . . . . . 164
1. 25. 6 Представление 4x4 кватернионов . . . . . . . . . . 168
1. 25. 7 Представление 2x2 кватернионов . . . . . . . . . . 174
1. 25. 8 Представление бикватернионов . . . . . . . . . . . 179
2 Преобразования 185
2. 1 Преобразования в гиперкомплексных алгебрах . . . . . . . 185
2. 2 Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2. 3 2-мерные повороты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2. 4 Гиперболические повороты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2. 5 Сдвиги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2. 6 Объединение сдвигов и поворотов . . . . . . . . . . . . . . 217
2. 7 3-мерные повороты в кватернионах . . . . . . . . . . . .
. 224
2. 8 Композиция 3-мерных поворотов . . . . . . . . . . . . . . . 232
2. 9 Сдвиги в дуальных кватернионах . . . . . . . . . . . . . . 235
2. 10 Композиция 3-мерных сдвигов и поворотов . . . . . . . . . 239
2. 11 Разложение 3-мерных сдвигов и поворотов . . . . . . . . . 244
2. 12 Формула зеркала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2. 13 Нецентральный поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2. 14 О точке приложения вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2. 15 Скалярно-векторные повороты . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2. 16 Композиция скалярно-векторных поворотов . . . . . . . . 272
2. 17 Группа преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . 278
2. 18 Генераторы группы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2. 19 Группа преобразований Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . 286
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
2. 20 Генераторы группы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
2. 21 Группа преобразований Галилея . . . . . . . . . . . . . . . 295
2. 22 Генераторы группы Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
2. 23 Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
2. 24 Прецессия Томаса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
2. 25 Неинерциальная кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
2. 26 Скрытые скаляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
2. 27 Размерность пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
2. 28 Статическая инерциальность . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
2. 29 Преобразование оператора дифференцирования . . . . . . 344
3 Взаимные отношения 353
3. 1 Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
3. 2 Ортогональность чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
3. 3 Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
3. 4 Мнимый инвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
3. 5 Отношение как оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
3. 6 Комплексные и паракомплексные . . . . . . . . . . . . . . 388
3. 7 Отношение некоммутативных . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
3. 8 Преобразование векторного произведения . . . . . . . . . . 398
3. 9 Тензор векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . 407
3. 10 Скалярное произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . 412
3. 11 Свойства скалярного произведения матриц . . . . . . . . . 415
3. 12 О комплекснозначном преобразовании векторов . . . . . . 419
3. 13 Обратное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
3. 14 Парное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
3. 15 Расширенное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Литература 433
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Когда-то давно, когда изучал курс линейной алгебры и аналитической
геометрии, я обратил внимание на то, насколько по-разному определены
скалярное и векторное произведения.