Читать онлайн «Преобразования гиперкомплексных чисел»

Автор Евгений Каратаев

Преобразования гиперкомплексных чисел Евгений Каратаев 15 августа 2020 г. 2 Оглавление Предисловие 7 1 Гиперкомплексные числа 11 1. 1 Процедура Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1. 2 Сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. 3 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. 4 Формула Эйлера для комплексных чисел . . . . . . . . . . 34 1. 5 Паракомплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. 6 Формула Эйлера для паракомплексных чисел . . . . . . . 49 1. 7 О сопряжении паракомплексных . . . . . . . . . . . . . . . 56 1. 8 Дуальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1. 9 Формула Эйлера для дуальных чисел . . . . . . . . . . . . 63 1. 10 Уравнения Коши-Римана для двумерных чисел . . . . . . 65 1. 11 Бикомплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1. 12 Уравнения Коши-Римана для бикомплексных чисел . . . . 81 1. 13 Кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1. 14 Формула Эйлера для кватернионов . . . . . . . . . . . . . 94 1. 15 Внутреннее сопряжение кватернионов . . . . . . . . . . . . 97 1. 16 Дуальные кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1. 17 Потенцирование дуальных кватернионов . . . . . . . . . . 105 1. 18 Бикватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 1. 19 Потенцирование бикватернионов . . . . . . . . . . . . . . . 116 1. 20 Уравнения Коши-Римана для бикватернионов . . . . . . . 120 3 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. 21 Делители нуля в бикватернионах . . . . . . . . . . . . . . 135 1. 22 Исключительные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1. 23 Кватернионы и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1. 24 Оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1. 25 Матричное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 1. 25. 1 Представление комплексных чисел . . . . . . . . . 155 1. 25. 2 Представление паракомплексных чисел . . . . . . . 158 1. 25. 3 Представление дуальных чисел . . . . . . . . . . . 160 1. 25. 4 Представление 2x2 бикомплексных чисел . . . . . . 163 1. 25. 5 Представление 4x4 бикомплексных чисел . . . . . . 164 1. 25. 6 Представление 4x4 кватернионов . . . . . . . . . . 168 1. 25. 7 Представление 2x2 кватернионов . . . . . . . . . . 174 1. 25. 8 Представление бикватернионов . . . . . . . . . . . 179 2 Преобразования 185 2. 1 Преобразования в гиперкомплексных алгебрах . . . . . . . 185 2. 2 Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2. 3 2-мерные повороты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 2. 4 Гиперболические повороты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2. 5 Сдвиги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2. 6 Объединение сдвигов и поворотов . . . . . . . . . . . . . . 217 2. 7 3-мерные повороты в кватернионах . . . . . . . . . . . .
. 224 2. 8 Композиция 3-мерных поворотов . . . . . . . . . . . . . . . 232 2. 9 Сдвиги в дуальных кватернионах . . . . . . . . . . . . . . 235 2. 10 Композиция 3-мерных сдвигов и поворотов . . . . . . . . . 239 2. 11 Разложение 3-мерных сдвигов и поворотов . . . . . . . . . 244 2. 12 Формула зеркала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 2. 13 Нецентральный поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2. 14 О точке приложения вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 2. 15 Скалярно-векторные повороты . . . . . . . . . . . . . . . . 265 2. 16 Композиция скалярно-векторных поворотов . . . . . . . . 272 2. 17 Группа преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . 278 2. 18 Генераторы группы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 2. 19 Группа преобразований Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . 286 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 2. 20 Генераторы группы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 2. 21 Группа преобразований Галилея . . . . . . . . . . . . . . . 295 2. 22 Генераторы группы Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 2. 23 Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 2. 24 Прецессия Томаса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 2. 25 Неинерциальная кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 2. 26 Скрытые скаляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 2. 27 Размерность пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 2. 28 Статическая инерциальность . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 2. 29 Преобразование оператора дифференцирования . . . . . . 344 3 Взаимные отношения 353 3. 1 Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 3. 2 Ортогональность чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 3. 3 Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 3. 4 Мнимый инвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 3. 5 Отношение как оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 3. 6 Комплексные и паракомплексные . . . . . . . . . . . . . . 388 3. 7 Отношение некоммутативных . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 3. 8 Преобразование векторного произведения . . . . . . . . . . 398 3. 9 Тензор векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . 407 3. 10 Скалярное произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . 412 3. 11 Свойства скалярного произведения матриц . . . . . . . . . 415 3. 12 О комплекснозначном преобразовании векторов . . . . . . 419 3. 13 Обратное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 3. 14 Парное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 3. 15 Расширенное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Литература 433 6 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Когда-то давно, когда изучал курс линейной алгебры и аналитической геометрии, я обратил внимание на то, насколько по-разному определены скалярное и векторное произведения.