Читать онлайн «Лекции по математическому анализу»

ББК 22. 161 Издание осуществлено при финаь Я 47 держке Федеральной целевой VTTTC М7(П7^ А\ ^Государственная поддержка и «УДл QLiyyjio. o) высшего образования и фундам науки на 1997-2000 годы» Рецензенты: член-корреспондент РАН О. В. Бесов член-корреспондент РАН Е. И. Моисеев ЯКОВЛЕВ Г. Н. Лекции по математическому аналщу. Ч. 1: Учеб. t r-r бие для вузов. —М. : Издательство физико-математичегкой ттоуат&* 2001. —400 с—ISBN 5-94052-024-3. Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором там первого курса в Московском физико-техническом институте (госуд*,|># 6>р-" ном университете). Для студентов физических, математических и инженерных спепи*льН*<*>^ © Центр «Интег} ISBN 5-94052-024-3 © Г. Н. Яковлев, плавление * оиелоВие 9 "">г I Последовательности действительных чисел ... и ?i Весконечныс десятичные дроби и действительные ^|исла 11 1. 1. Конечные и бесконечные десятичные дроби. 1. 2. нение десятичных дробей. 1. 3. Числовая прямая. 1. 4. торы существования и всеобщности. 1. 5. Десятичные при* ближения и их свойства ?% Йредел числовой последовательности 18 2. 1. Числовые последовательности. Подпоследовательности. 2. 2. Предел последовательности. Единственность предела. 2. 3. Переход к пределу в неравенствах. 2. 4. Монотоннные последовательности § 5 Арифметика действительных чисел 28 3. 1. Лемма о единственности. 3. 2. Сумма и разность вительных чисел. 3. 3. Произведение и частное тельных чисел. 3. 4. Степени с целыми показателями. 3. 5. Неравенство Вернули и число е ? Д Предел суммы, разности, произведения и частного ... 35 4. 1. «-окрестности. 4. 2. Бесконечно малые ности и их свойства. 4. 3. Предел суммы, разности и изведения. 4. 4. Предел модуля и предел частного ?f Степени и логарифмы 41 5. 1. Степени с рациональными показателями. 5. 2. Степени с действительными показателями 5. 3. Логарифмы ?? Принцип вложенных отрезков, теорема Больцано- Цейерштрасса и критерий Коши 45 6. 1. Принцип вложенных отрезков. 6. 2. Теорема Больцано- Вейерштрасса 6. 3. Критерий Коши. 6. 4. Точные грани числовых множеств. 6. 5. Лемма о покрытии отрезка тервалами ?? Числовые множества 55 7. 1. Операция над множествами. Конечные и ные множества. 7. 2. Счетные и несчетные множества. 7. 3. Открытые и замкнутые множества. 7. 4. Мера жеств точек действительной прямой 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 2. Функции одной переменной 64 § 1. Примеры числовых функций 64 1. 1. Определение числовой функции. 1. 2. Обратные ции. Сложные функции. 1. 3. Показательная и мическая функции. 1. 4. Степенная функция. 1. 5. Триго- тригонометрические функции. 1. 6. Элементарные функции § 2. Пределы функций 72 2. 1. Определение предела функции по Гейне. 2. 2. деление предела функции по Коши. 2. 3. Свойства лов функций. 2. 4. Односторонние пределы. 2. 5. Критерий Коши существования предела функции § 3. Непрерывные функции 83 3. 1. Определение непрерывности. Точки разрыва. 3. 2. ства функций, непрерывных на ограниченных замкнутых множествах. 3. 3. Свойства функций, непрерывных на межутках. 3. 4. Непрерывность обратной функции § 4. Непрерывность элементарных функций 89 4. 1.