Читать онлайн «Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем»

B. M. МАТРОСОВ МЕТОД ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА: АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Светлой памяти своего дорогого учителя, профессора Павла Алексеевича Кузьмина автор посвящает эту книгу ПРЕДИСЛОВИЕ Метод функций Ляпунова создан в фундаментальном труде великого русского математика и механика, как основной метод классической теории устойчивости движения. Значительно обогатившейся благодаря ряду первоклассных последующих работ и получивший разнообразные и важные приложения, в настоящее время он представляет весьма общий и эффективный метод исследования свойств движений в нелинейной механике, решений в качественной теории дифференциальных уравнений, процессов в теории управления и является самостоятельной изящной математической теорией. Книга посвящена описанию дальнейшего развития метода функций Ляпунова в двух направлениях. В первом рассматривается развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости в направлении распространения его на системы, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, использования нескольких функций типа Ляпунова и векторных функций Ляпунова. Описывается его применение к задачам устойчивости механических систем с диссипацией и гироскопических систем. В связи с этим излагается элементарная теория дифференциальных уравнений и неравенств с разрывными правыми частями, основанная на понятии правостороннего решения (глава I). На ее основе доказываются основные теоремы метода функций Ляпунова в классической теории устойчивости, но для систем с разрывными правыми частями (глава II). При одновременном использовании двух и нескольких скалярных функций типа Ляпунова (глава Ш), или производных от функций Ляпунова порядка выше первого, каждая функция удовлетворяет менее жестким требованиям, чем в соответствующей классической теореме Ляпунова или ее известном обобщении, использующих одну функцию Ляпунова и ее первую производную. Указанное обстоятельство значительно облегчает отыскание нужных функций Ляпунова и делает метод более эффективным и гибким. Дальнейшее ослабление требований к функциям Ляпунова достигается на пути введения и использования векторных функций Ляпунова, применения для них дифференциальных неравенств типа Чаплыгина. Получается метод, позволяющий сводить исследование устойчивости движения нелинейной системы к построению векторной функции Ляпунова, упрощенной системы сравнения (меньшего порядка); изучению условий наличия соответствующего свойства ее решения и затем на основании теоремы сравнения условий устойчивости изучав- мых движений. Разработанный на этой основе метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости движения и его многочисленные приложения к анализу нелинейных систем, к сложным системам, состоящим из слабо или специальным образом связанных подсистем изложены в монографиях под редакцией А. А. Воронова и В. М. Ма- тросова [1987] (пер. на англ. яз. : Р. З. Абдуллин, Л. Ю. Анапольский, Р. И. Козлов, А. И. Маликов, В. М.