Читать онлайн «Стохастические дифференциальные уравнения»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И. И. ГИХМАН, А. В. СКОРОХОД СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ —1968 В книге рассматриваются вопросы существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений, связь решений с процессами Маркова, выводятся уравнения А. Н. Колмогорова для переходных вероятностей решения, изучается асимптотическое поведение решения при t -> оо, а также рассмотрены решения уравнений при различных граничных условиях на концах интервала, внутри которого ищется решение. Книга рассчитана на специалистов по теории вероятностей, студентов и аспирантов, специализирующихся в этой области, может быть полезной специалистам смежных наук, использующих в своей работе аппарат теории случайных процессов. Ответственный редактор академик АН УССР Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ 2—2—3 54—68М КИЕВСКАЯ КНИЖНАЯ ФАБРИКА № 1 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 Часть I ОДНОМЕРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Глава 1. Стохастические интегралы и дифференциалы 8 § I. Винеровский процесс 8 § 2. Стохастический интеграл 12 § 3. Свойства стохастического интеграла как функции верхнего предела 16 § 4. Стохастические интегралы со случайными пределами 28 Глава 2. Решения стохастических дифференциальных уравнений ... . 33 § 5. Стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка . 33 § 6. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений 39 § 7. Стохастические дифференциальные уравнения, зависящие от параметра 50 § 8. Зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений от начальных данных 58 Глава 3. Решения стохастических дифференциальных уравнений и диффузионные процессы Маркова 62 § 9. Марковские процессы. Диффузионные процессы 62 § 10. Диффузионные процессы как решения стохастических уравнений 66 §11. Уравнения А. Н. Колмогорова 72 § 12. О мерах в пространстве функций, соответствующих диффузионным процессам 80 § 13. Формулы для плотности вероятности перехода 91 § 14. Уравнения А. Н. Колмогорова для плотности вероятности перехода 100 § 15. Однородные по времени решения стохастических дифференциальных уравнений 106 Глава 4. Асимптотическое поведение решений стохастических уравнений 114 § 16. Ограниченность и неограниченность решений стохастических уравнений 114 § 17. Теоремы о точном росте решений стохастических уравнение . . 125 § 18. Эргодические теоремы 134 3 § 19. Устойчивость решений стохастических дифференциальных уравнений 146 § 20. Некоторые другие предельные теоремы 153 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения на конечном пространственном интервале . 158 § 21. Граничные условия на концах интервала 158 § 22. Процесс с поглощением на границе 167 § 23. Мгновенное отражение на границе 181 § 24. Замедленное отражение на границе 197 § 25. Процессы со скачкообразным уходом с границы 210 Часть II СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава 1. Векторные стохастические дифференциальные уравнения ... 217 § 1.