Читать онлайн «Метод комплексного ростка в задаче многих частиц, в квантовой теории поля»

В. П. Маслов, О. Ю. Шведов МЕТОД КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА в задаче многих частиц в квантовой теории поля Предисловие В книге рассматривается проблема построения приближенных решений уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности при стремлении малого параметра к нулю. Данные уравнения часто встречаются в приложениях. В то же время, известные асимптотические методы [И, 14, 21, 22, 23, 24, 68, 69] применимы только к уравнениям для функций фиксированного числа аргументов. В книге развивается новый асимптотический метод, позволяющий строить аппроксимации для функций большого числа аргументов. При этом оказывается, что различные уравнения, отвечающие различным физическим задачам, могут быть исследованы с помощью единого метода. В статистической физике часто исследуется задача N классических частиц, находящихся во внешнем поле и взаимодействующих между собой, при следующих предположениях: внешний потенциал порядка единицы, а коэффициент при потенциале взаимодействия равен 1/JV. Данная физическая задача отвечает многочастичному уравнению Лиувилля (уравнение (9) §3. 1 книги) для функции плотности распределения вероятности, которая зависит от 6N + 1 аргументов, один из которых играет роль времени, ЗЛГ аргументов являются координатами частиц, ЗЛГ — импульсами. Известные методы исследования этой проблемы при больших N [2, 29, 30,46] заключаются в следующем. Вместо задачи о построении асимптотики для Ж-частичной функции распределения вероятности рассматривается задача о построении аппроксимаций для так называемых А-частичных распределений, получающихся из ЛГ-частичной плотности интегрированием по всем аргументам, кроме 6А; + 1 (см. п. 3. 1. 4). Эти частичные распределения удовлетворяют цепочке уравнений ББГК. И (Боголюбова—Борна—Грина— Кирквуда—Ивона) [7] (см. п. 2. 1. 3). Исследование этой цепочки уравнений позволяет построить асимптотику для частичных распределений при условиях к = const, N —► оо. Эта асимптотика выражается через решение известного в статистической физике уравнения Власова. Эту асимптотику можно использовать для построения аппроксимаций средних значений наблюдаемых величин специального вида. Оказывается, что по известным аппроксимациям для частичных распределений нельзя, вообще говоря, однозначно найти аппроксимации при N —► оо для средних значений от ограниченных равномерно по N наблюдаемых общего вида. Для вычисления таких средних значений необходимо использовать аппроксимацию не для функций конечного числа аргументов, а для ^-частичного распределения. Асимптотика ^-частичной плотности не может быть найдена с помощью асимптотического анализа цепочки ББГКИ, для построения такой асимптотики необходим принципиально новый метод. Именно такой метод и развивается в монографии. Мы строим асимптотику решения задачи Коши для многочастичного уравнения Лиувилля. Асимптотическая формула выражается не только через решение известного уравнения Власова [10], но и через решения новых уравнений. Соответствующие асимптотические формулы приведены в §§3. 1 и 3. 4 книги.