Читать онлайн «Метод перевала»

§ 2. Точки перевала полиномов и алгебраических функций. Теоремы 267 существования § 3. Асимптотика фундаментальных решений корректных по Петровскому 285 уравнений § 4. Устойчивость в С задачи Коши для разностных уравнений и уравнений с 319 частными производными Глава VI Слияние особенностей 331 § 1 Стационарная точка вблизи границы 331 § 2. Слияние двух точек перевала 341 § 3. Слияние полюса и точки перевала 356 Литература 363 ПРЕДИСЛОВИЕ Тема настоящей книги — асимптотические оценки интегралов. Многочисленные задачи математики, математической и теорети- теоретической физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида F (X) = J exp [XS (*)] / (х) dx при больших значениях параметра А,->4-°°- Здесь интеграл может быть одномерным или многомерным, область интегриро- интегрирования y может быть интервалом вещественной оси или областью /г-мерного вещественного пространства, контуром в комплексной плоскости или n-мерным контуром в n-мерном комплексном пространстве. Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие интегралы явно вычисляются. С другой стороны, при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭЦВМ. Единственное, что остается—это попытаться воспользоваться асимптотическими методами. В настоящей книге рассмотрены основные методы асимпто- асимптотических оценок интегралов: метод Лапласа, метод стационар- стационарной фазы, метод перевала. В частных случаях асимптотические разложения были открыты и применялись еще в XVIII столетии Стерлингом, Маклореном и Эйлером. Дальнейшее развитие эти методы получили в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Тем не менее книги, посвященные специально асимптотическим методам, начали появляться только в 60-х годах нашего столетия. Настоящая книга рассчитана на широкий круг лиц—мате- лиц—математиков, физиков, механиков, инженеров-исследователей. Для чтения книги достаточно знания основ математического анализа, линейной алгебры и теории функций комплексного переменного. Исключение составляет лишь гл. V; необходимые для ее пони- понимания элементарные топологические и алгебраические факты 6 ПРЕДИСЛОВИЕ приведены в тексте. Некоторые факты в книге сформулированы в форме задач. Примеры, которые приводятся в книге, как пра- правило, связаны с конкретными задачами; мы избегали примеров, придуманых специально для демонстрации того или иного метода. Литература, посвященная асимптотическим оценкам интегра- интегралов, в особенности одномерных, огромна, и приведенные нами библиографические указания ни в коей мере не претендуют на полноту. Имеется ряд монографий, полностью или частично посвященных асимптотике интегралов, — это книги [10], [34], [44], [66], [97], [106], [113], [128]. Подробная библиография имеется в [66], [128]. Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вида F(X), даже одномерного, можно вычислить. Рассмотрим, например, преобразование Фурье Если про функцию ф(л') известно лишь, что она финитна и бес- бесконечно дифференцируема, то про функцию F (Я) можно сказать только, что она убывает при Я,-> ± °° быстрее любой степени А; но никакой асимптотической формулы (кроме написанного выше интеграла) для нее получить нельзя.