Читать онлайн «Некоторые вопросы теории приближений»

В. М. ТИХОМИРОВ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1976 УДК 517. 2. 517. 51. 519. 3 Монография посвящена геометрическим и экстремальным задачам теории приближений, хотя в ней затронуты и основные темы классической теории аппроксимации. Изучаются приближения индивидуальных элементов элементами фиксированного множества, двойственные методы, полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля, неравенства для производных полиномов и гладких функций. Излагаются классические методы аппроксимации классов функций: методы Фурье, Фейера, методы аппроксимации положительными полиномиальными операторами и произвольными линейными полиномиальными операторами. Наибольшее внимание в книге уделено сравнительно новой и интенсивно разрабатываемой сейчас теме в теории приближений — нахождению поперечников функциональных классов, т. е. наилучших методов приближения, интерполирования и задания функций из функциональных классов. Во многих важных случаях дается точное решение задачи о нахождении поперечников классов гладких, аналитических и гармонических функций. Проводится сравнение наилучших и классических методов приближения. Рецензенты: чл. -корр. А. А. Гончар, проф. С. В. Фомин Печатается по постановлению . Редакционно-издательского совета Московского университета 20203-028 • „ Т 130—75 077(02)—76 (О) Издательство Московского университета, 1976 г. Владимир Михайлович Тихомиров НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ Тематический план 1975 г. № 130 Редактор Г. Е. Горелик Технический редактор Е. Д. Захарова Корректоры И. А. Большакова, J1. С. Клочкова Сдано в набор 16/V 1975 г. Подписано к печати 9/IV 1976 г. Л-54599 Формат 60x90Vi6 Бумага тип. № 3 Усл. печ. л. 19,0 Уч. -изд. л. 19,08 Изд. № 2728 Зак. 189 Тираж 5000 экз. Цена 2 р. 02 к. Издательство Московского университета. Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7. Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы ОГЛАВЛЕНИЕ Список основных обозначений 5 Введение . 9 Глава 1. Постановки задач теории приближений. Предварительные сведения 13 Введение... 13 § 1. 1 Постановки задач теории приближений. Основные характеристики наилучших приближений 14 § 1. 2 Функциональный анализ - . . 18 § 1. 3. Дифференциальное исчисление . 27 § 1. 4. Выпуклый анализ 33 § 1. 5. Теория экстремальных задач 48 § 1. 6. Теория функций 67 § 1. 7. Топология . . . . . . < 84 Глава 2. Экстремальные задачи теории приближений . . 90 Введение 90 § 2. 1. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля ... 90 § 2. 2. Задача Золотарева 97 § 2. 3. Экстремальные задачи на пространствах полиномов . . 101 § 2. 4. Неравенства для производных 115 § 2. 5. Экстремальные задачи, связанные с гладкими функциями, заданными на конечном отрезке . . *... ,. . 123 § 2. 6. Теоремы двойственности в теории приближений . . 141 § 2. 7. Приближение индивидуальных элементов . . 148 Глава 3. Приближение классов функций 166 Введение 166 § 3. 1. Приближение классов функций конечной гладкости сплай- нами 171 § 3. 2. Приближение классов гладких периодических функций тригонометрическими полиномами 175 § 3. 3. Приближение классов аналитических и гармонических функций тригонометрическими полиномами . . 185 § 3. 4.