Читать онлайн «Об особых решениях уравнений с частными производными первого порядка»

ОБ ОСОбЫХ решениях уравнений с частными производными первого порядка η всоколов Об ОСОБЫХ решениях уравнений с частными производными первого порядка ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» Москва—1966 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая монография возникла в результате научно-исследовательской работы автора по теории особых решений уравнений с частными производными первого порядка. В книге рассматриваются особые решения уравнений в частных производных первого порядка и некоторые вопросы качественной теории этих уравнений. Она ставит ряд задач и вопросов, которые необходимо решить для развития качественной теории уравнений в частных производных первого порядка. Этим уравнениям посвящена классическая монография П. К. Рашевского [11]. Однако в этой монографии не изучаются особые решения данных уравнений. Насколько нам известно, в отечественной оригинальной и переводной литературе руководства по особым решениям уравнений в частных производных первого порядка вообще отсутствуют. Предлагаемая читателю книга является попыткой автора заполнить этот пробел в нашей учебной литературе. Книга в целом требует от читателя знания основ математического анализа и знакомства с теорией обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка в объеме, изложенном в учебных пособиях В. В. Степанова [19] и И. Г. Петровского [24], Поэтому эта книга может быть рассчитана на студентов стар- ших курсовг механико-математических факультетов университетов, физико-математических факультетов пединститутов и студентов старших курсов ВТУЗов, а также на аспирантов и научных работников по специальности дифференциальные уравнения и смежным с ней дисциплинам (физика, механика и т. д. ). Цель, поставленная автором, будет достигнута, если предлагаемая книга послужит не только для общего знакомства с теорией особых решений уравнений в частных производных первого порядка, но и явится стимулом для дальнейшего, более глубокого изучения и исследования как самой теории особых решений, так и, в особенности, качественной теории этих уравнений. я. соколов ВВЕДЕНИЕ Известно, что уравнения в частных производных первого порядка с одной неизвестной функцией обладают двумя простыми свойствами. 1. Они обладают общим решением, зависящим от произвольной функции. 2. Задача интегрирования уравнения в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В силу этой тесной связи уравнений в частных производных первого порядка с обыкновенными дифференциальными уравнениями, естественно, возникает необходимость в решении ряда задач теории уравнений в частных производных первого порядка с одной неизвестной функцией вещественных переменных, которые решены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений в действительной области. Реальное положение таково, что общая теория уравнений в частных производных первого порядка в действительной области в настоящее время в смысле развития и решения теоретических задач еще далека от того уровня развития, которого достигла теория обыкновенных дифференциальных уравнений.