Читать онлайн «Йордановы алгебры»

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ К. А. Жевлаков, А. М. Слвяько, Й. П. Шестаков, А. И. Ширшов ЙОРДАЮВЫ АЛШРЫ (учебное пособие для студентов-математиков НГУ) Новосибирск • 1976 УДК 519. 48 К. А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Йордановы алгебры, серия "Библиотека кафедры алгебры и математической логики Новосибирского университета*t вот. 15, Новосибирск, 1976, I-IOQ. Настоящий выпуск содержит материал, излагавшийся в различные годы в спецкурсах авторов по теории колец, близких к ассоциативным. Выпуск рассчитан на студентов и . научных сотрудников, интересующихся современной теорией колец в хорошо знакомых с университетским курсом алгебры. Отзывы и замечания направляйте по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Институт математики, Слинько Аркадию Михайловичу. нгу кафедра алгебры и математической логики 1978 (с) Новосибирский государственный университет, 1976 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . ... ... 5 Глава I. МНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБР 7 § I. Свободные алгебры . . . . 7 § 2. Многообразия, Алгебры, свободные в многообразия 10 § 3. Однородные тождества и однородные многообразия . . . • . • 13 , § 4« Частичные линеаризации тождеств . . . • 16 § 5. Полилинейные тождества. Полная линеаризация тождеств 19 Глава П. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОВ0Ы, ДОПУСКАЮЩИЕ КОМПОЗИЦИЮ, И КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ 24 § I. Определение и простые свойства композиционных алгебр . 25 § 2. Процесс Кэли-Диксона. Обобщенная теорема Гурвица 32 Глава Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЙОРДАНОШ АЛ1ЕБРЫ 41 § I. Примеры йордановых алгебр 41 § 2. Свободные специальные йорцановы алгебры 51 Глава 1У. ТЕОРЕМА ШИЛОВА 60 § I. Предварительные результаты 61 § 2. Теорема Ширшова и ее следствия 65 Глава У. РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ ЙОЩНОШХ АЛГЕБР # 77 § I. Основные определения и элементарные факты ♦ 77 § 2. Нормальная форма элеыентов алгебры правых умножений йордановой алгебры • . . • 79 § 3. Локальная разрешимость и локальная нильпотентность йордановых алгебр ... 82 § 4. Пример Жевлакова разрешимой, но не нильпотентной йордановой алгебры ... . 86 Глава У1. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЙОЩНОШ АЛГЕБРЫ 89 § I. Йордановы ниль-алгебры 89 § 2. Радикал и полупростые алгебры 91 § 3. Обратимые элементы йордановых алгебр . . 92 § 4. Структура простых конечномерных йорда- новых алгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики И 2 93 Предметный указатель , 98 ПРЕДИСЛОВИЕ До 30-х годов нашего столетия теория колец развивалась в основном как теория ассоциативных колец* Однако еще с середины проплого столетия z математике возникали системы. удовлетворяющие всем аксиомам кольца,кроме ассоциативности. Такова,например, построенная в 1958 г. английским математиком Альфредом Кэли алгебра чисел Кали, с помощью которой он нашел тождество, представляющее произведение двух сумм восьми квадратов снова в виде суммы восьми квадратов. Это восьмимерная алгебра с делением над полем вещественных чисел. Она удовлетворяет ослабленным тождествам ассоциативности (сьа)ё^ = а/(а6) и (q6)6=Q>(£6) . Впоследствии кольца с этими двумя тождествами стали называться альтернативными колшами.