Читать онлайн «Нелинейные почти периодические колебания»

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, В. Ш. БУРД, Ю. С. КОЛЕСОВ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ да' ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1970 517. 2 К 78 УДК 517 Серия «Нелинейный анализ и его приложения» выпускается под общей редакцией Н. Н. Боголюбова, М. А. Красносельского, Ю. Л. Митропольского. Нелинейные почти периодические колебания. М. А. Красносельский, В. Ш. Б у ρ д, Ю. С. К о л е с о в. Настоящей монографией открывается новая серия, посвященная проблемам нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, нелинейным колебаниям, современным методам их исследования, приложениям к задачам механики, физики и т. д. В монографии развивается основанный на идеях функционального анализа метод интегральных уравнений исследования почти периодических (пп) решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая часть книги (главы 1 и 2) посвящена линейным дифференциальным уравнениям с пп-коэффициентами. Устанавливаются эффективные критерии экспоненциальной дихотомии решений однородных уравнений Конструктируются и изучаются функции Грина дифференциальных операторов с пп-коэффициентами. Описываются классы операторов со знакопостоянными функциями Грина. Во второй части книги (главы 3 и 4) рассматриваются нелинейные уравнения. Доказываются нелокальные теоремы существования пп-решений, дается оценка их числа, развиваются методы исследования их устойчивости. Подробно анализируется процесс рождения пп-решений из состояния равновесия. Указаны приложения к уравнениям автоматического регулирования, колебаниям различных маятников с вибрирующей точкой подвеса, с нитями переменной длины и др. Книга предназначена специалистам в области дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа, теории колебаний. 2*2-3 40-70 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 6 Глава 1. Линейные дифференциальные операторы с почти периодическими коэффициентами 9 § 1. Почти периодические функции 9 1. 1. Пространства пп-функций (9). 1. 2. Теорема об аппроксимации (11). 1. 3. Дифференцирование и интегрирование пп-функций (12). 1. 4. Оператор суперпозиции (13). § 2. Регулярные пп-операторы 14 2. 1. Постановка задачи (14). 2. 2. Теорема Е. Эсклангона (17). 2. 3. Существование ограниченных решений при ограниченных правых частях (20). 2. 4. Теорема единственности (22). 2. 5. Теорема об эквивалентности (26). § 3. Поведение решений однородного уравнения 29 3. 1. Первая теорема о дихотомии (29). 3. 2. Экспоненциальная дихотомия (31). 3. 3. Равномерность дихотомии (33). § 4. Функция Грина 36 4. 1. Описание функции Грина (36). 4. 2. Построение функции Грина (37). 4. 3. Зависимость функции Грина от параметра (39). 4. 4. Примеры (43). 4. 5. Функция Грина периодической краевой задачи (46). § 5. Положительность функции Грина 47 5. 1. Конусы и клинья (47). 5. 2. Функционалы, выделяющие конус (48). 5. 3. Пространство конусов (51). 5. 4. Конусы К (t) (53). 5. 5. Функционалы, выделяющие Kit) (57). 5. 6. Линейные положительные операторы (59). 5. 7.