Читать онлайн «Асимптотические методы нелинейной механики»

Н. Н. МОИСЕЕВ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов университетов и физико-технических высших учебных заведений ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 19 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава I. Некоторые вопросы вспомогательного характера II § 1. Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных колебаний 11 1. Фазовые траектории (11). 2. Линейные системы (12). 3. Фазовая плоскость уравнения Дюффинга (16). 4. Пример периодической фазовой плоскости (18). § 2. Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга 19 1. Некоторые сведения из теории эллиптических функций (20). 2. Выражение общего интеграла уравнений Дюффинга (21). 3. Формула для пери ода (22). § 3. Примеры колебаний систем с переменными параметрами ... 25 1. Предварительные замечания (25). 2. Случай, когда возвращающая сила стремится к нулю (26). 3. Колебания с диссипативными силами (27). 4, Случай, когда возвращающая сила ограничена (28). § 4. О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний 30 1. Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая сила изменяется монотонно (30). 2. Устойчивость колебаний ракеты (32). 3. Основная лемма (33). 4. Критерий устойчивости для уравнения (3. 8) (34). § 5. Теорема Пуанкаре • 35 1. Формулировка (35). 2. Доказательство утверждения I (38). 3. Замечание об аналитичности правых частей (40). Глава II. Метод Ляпунова—Пуанкаре 41 § 1. Система Ляпунова —случай одной степени свободы 41 1. Консервативные системы (41). 2. Система Ляпунова (42). 3. Приведение к каноническому виду (43). 4. Преобразование интеграла Я (44). 5. Периодичность решений системы Ляпунова (45). 6. Вычисление периода (46). 7. Одно свойство периода (48). 8. Формулировка теоремы Ляпунова (49). § 2. Условия существования периодических решений 49 1. Предмет исследования (49). 2. Необходимые и достаточные условия периодичности (50). 3. Случай, когда фундаментальные решения уравнения (2. 2) —периодические функции времени (51). 4. Пример (52). 5. Одно уравнение второго порядка (53). 6. Одно уравнение второго порядка. Случай непериодических фундаментальных решений (55). § 3 Метод Ляпунова 58 1. Пример (58). 2. Обсуждение алгоритма (60). 3. Расчет приближенного решения (63). 4. Уравнение Дюффинга (64). 5. Пример неконсервативной, системы (66), 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4 Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней свободы 67 1. Определение (68). 2. Приведение к каноническому виду (68). 3. Теорема Ляпунова (70). 4. Метод Ляпунова (71). 5. Консервативные системы про извольного числа степеней свободы (75). 6. Метод Ляпунова в нелиней ных консервативных системах (77). § 5. Автоколебания 79 1. Пример автоколебаний (79). 2. Формулировка математической задачи (82). 3. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае квазилинейных систем (метод Пуанкаре) (83). 4. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае систем, близких к консервативным (90). 5.