Читать онлайн «Смешанная задача для гиперболического уравнения»

4 О. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА для ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С предисловием акад. В. И. Смирнова ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1953 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие • 5 От автора 8 Введение 9 Гл а в а I. Вспомогательные предложения § 1. Нормированные пространства и пространства Гильберта . 24 § 2. Обобщенные производные. Средние функции 27 § 3. Пространства WJP (Q) и теоремы вложения 32 о о о § 4. Классы функций /5, Dj и D2 38 § 5. Собственные функции . , • 43 § 6. Некоторые предложения о разностных отношениях ... . 48 § 7. Три леммы о производных функции на криволинейной поверхности 58 Глава II. Метод Фурье § 1. Постановка задачи 70 § 2. Нахождение обобщенного решения 74 § 3. Основная вспомогательная теорема 83 § 4. Обоснование метода Фурье 101 § 5. Неоднородные уравнения 112 § 6. Интегралы гиперболических уравнений 116 Глава III. Решение смешанной задачи в целом с помощью конечных разностей § 1. Определение обобщенного решения и его единственность 125 § 2. Отыскание обобщенного решения 134 § 3. Исследование дифференциальных свойств обобщенного решения 151 § 4. Сведение краевых и начальных условий к однородным . . 178 § 5. Смешанная задача для бесконечных областей 183 § 6. Смешанная задача для общих линейных уравнений второго порядка . , 184 Глава IV. Преобразование Лапласа § 1. Сведение смешанной задачи к решению эллиптического уравнения 190 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Обобщенное решение задачи Дирихле 193 § 3. Исследование дифференциальных свойств обобщенных решений 201 § 4. Решение смешанной задачи 210 § 5. О дифференцируемости собственных функций в замкнутой области 213 Глава V. Метод аналитической аппроксимации § 1. Оценка производных первого порядка от решений уравнения 221 § 2. Оценка старших производных от решений 229 § 3. Задача Коши (аналитический случай) 233 § 4. Задача Гурса (аналитический случай) 236 § 5. Преобразование уравнения к характеристическим координатам 239 § 6. Смешанная задача (аналитический случай) 250 § 7. Решение смешанной задачи (неаналитический случай) . . 258 § 8. Решение смешанной задачи для областей общего вида . . 265 Дополнения 271 Литература 277 ПРЕДИСЛОВИЕ Основные задачи для линейных уравнений гиперболического типа — это задача Коши и смешанная задача. Трудность этих задач и достигнутые в отношении их решения результаты совершенно различны. Это видно хотя бы на примере волнового уравнения в обычном трехмерном пространстве. Задача Коши решается в замкнутом виде при помощи формулы Пуассона, и анализ решения может быть проведен совершенно элементарно. Иное положение до последнего времени было в отношении смешанной задачи. Никаких общих результатов, касающихся решения задачи для областей произвольной формы, не было. В частности, не был теоретически оправдан известный метод Фурье. Тем самым не был выяснен вопрос о том, какой гладкости надо требовать от данных задачи и границы области для существования решения. Задача Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами с большой полнотой и общностью исследована в работах С.