Читать онлайн «Альтернативные алгебры.»

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТЗЕЙНЬЙ УНИВЕРСИТЕТ К. А. ЖевЛаков, А. М. Слинько, Й. П. Шестаков, А. И. Ширшов АЛЬТЕРНАТИБЕШЕ АЛГЕБРЫ Часть I (учебное пособие для студентов-математиков НПО Новосибирск • 1976 УДК 519. 48 К. А. Жевлаков,5 А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Альтернативные алгебры, I, серия "Библиотека кафедры алгебры и математической логики Новосибирского университета", вып. 17, Новосибирск, 1976, 1-78. Настоящий выпуск содержит материал, излагавшийся в различ - яые годы в спецкурсах авторов по теории колец, близких к ассо - циа!тивным, и является продолжением выпуска "Йордановы алгебры" тех же авторов. Этот материал еще не нашел своего отражения в монографической литературе. Выпуск рассчитан на студентов и научных сотрудников, интересующихся современной теорией колец, и хорошо- знакомых с университетским курсом алгебры и выпуском "Йордановы алгебры". Отзывы и замечания направляйте по адресу: 630090, Новосибирский, Институт математики, Шестакову Ивану Павловичу. НГУ кафедра алгебры и математической логики 1870 ® Новосибирский государственный университет, 1976 СОДЕРЖАНИЕ Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ... ... . . 5 § I. Основные тождества. Теорема Артина . . 5 § 2. Некоторые свойства алгебры правых . умножений ,8 Глава П. АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ . . 13 § I. Лемма Ширшова . . 13 § 2. Ассоциативные. РI-алгебры ... ... . W § 3. Алгебраичность и локальная конечность в смысле Ширшова 22 § 4. Специальные йордановы Pjf-алгебры . . 25 § 5. Альтернативные РГ-алгебры ... ... Щ> Глава Ш. РАЗРЕШИМОСТЬ И НШЕЬИОТЕНТНОСТЬ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР 36 § I. Теорема Нагаты-Хигмана « ♦ 36 § 2. Пример Дорофеева 39 § 3. Теорема ЖевЛакова 43 Глава 1У. ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 48 § I. Предварительные результаты ... . . 48 § 2. Тоздества Клейнфелда . . 55 § 3. Квадратичные алгебры ... ... ... 57 §4. Теорема Клейнфелда . . * ... . . . 60 Глава У. ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛШБРЫ . . 66 § I. Алгебры без нильпотентных элементов 66 § 2. Ниль-алгебры . , 72 Предметный указатель 77 ГЛАВА I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ § I. Основные;тождества. Теорема Артина . Под словом "алгебра" мы будем понимать алгебру над произ - вольным ассоциативно-комвцутативным кольцом Ф с единицей / . Если А - некоторая алгебра и x,y,ze А , то через (x,p,z)~(xy)z- - x(yz) мы обозначаем ассоциатор элементов x,p,z; через [я? #3 в Щ- Ух -коммутатор элементов д?,^ и через х*и = хи+ух- йорданово произведение этих элементов. Алгебра А называется альтернативной, если в А справедливы тождества Первое из этих тоадеств называется тождеством левой альтернативности , второе - тождеством правой альтернативности. Линеаризуя тождества левой и правой альтернативности,мы получаем тождества (я. у,*)+. (*. *, у>-0, из которых. следует, что в альтернативной алгебре ассоциатор (x,ytz) является кососимметрической функцией от аргументов x,t/,z . В частности, во всякой альтернативной алгебре справедливо тождество Алгебры,а удовлетворяющие этому тождеству, называются: эластичными. Например, всякая коммутативная либо антикомму - тативная алгебра эластична.