Читать онлайн «Введение в тензорный анализ и риманову геометрию :Учеб. пособие для студентов вузов по специальности "Приклад. математика и физика"»

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ» Лекции кафедры высшей математики МФТИ А. А. АБРАМОВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ И РИМАНОВУ ГЕОМЕТРИЮ Рекомендовано Учебно-методическим советом Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению «Прикладные математика и физика> Москва Физматлит 2001 ББК 22. 151 А 16 УДК 513. 73 Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» Рецензенты: профессор Д. В. Беклемишев профессор М. М. Постников АБРАМОВ А. А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию: Учеб. пособие для вузов. —М. : Издательство физико-математической литературы, 2001. —112 с—ISBN 5-94052-039-1. Книга написана на основе лекций, прочитанных автором студентам Московского физико-технического института. Она содержит краткое изложение основных результатов тензорной алгебры, тензорного анализа и римановой геометрии. Для чтения книги достаточны знания по математическому анализу, линейной алгебре и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме общевузовских программ. Для студентов математических, физических и инженерных специальностей и научных работников. ISBN 5-94052-039-1 © Центр «Интеграция», 2001 © А. А. Абрамов, 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 1. Тензорная алгебра 7 § 1. Тензоры в линейном пространстве 7 1. Определение тензора. 2. Соглашения об обозначениях. 3. Алгебраические операции над тензорами. 4. Другие возможности определения тензора § 2. Ориентация. Псевдотензоры 19 1. Ориентация. 2. Псевдотензоры § 3. Тензоры в евклидовом пространстве 22 1. Общие соображения. 2. Метрический тензор. 3. Опускание и поднятие индексов. 4. y/g Глава 2. Тензорный анализ 29 § 1. Основные понятия 29 1. Гладкое многообразие. 2. Касательное пространство. 3. Тензорное поле. 4. Векторное поле (пример тензорного поля). 5. Ориентация. Псевдотензорное поле § 2. Тензорные дифференциальные операции 41 1. Предварительные соображения и примеры. 2. Определение тензорных дифференциальных операций в Хп. 3. Некоторые дополнения § 3. Внешние дифференциальные формы 47 1. Антисимметричное ковариантное тензорное поле. 2. Внешняя дифференциальная форма. 3. Зачем нужны внешние дифференциальные формы. 4. О псевдоформах § 4. Интегрирование 50 1. Интеграл и его свойства. 2. Теорема Стокса-Пуанкаре. 3. Об интеграле от дифференциальной псевдоформы. 4. О теоремах Ньютона-Лейбница, Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса Глава 3. Риманова геометрия 61 § 1. Риманово пространство 61 1. Основные понятия. 2. Подпространства Vn. 3. Геодезическая 4 Оглавление §2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 67 1. Формулы для параллельного переноса в Нп в криволинейной системе координат. 2. Определение параллельного переноса в Vn. 3. Параллельный перенос произвольных тензоров в Vn. 4.