Читать онлайн «Многообразия алгебр»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Д. М. СМИРНОВ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР Ответственный редактор кандидат физико-математических наук И. А. Мальцев Q ВО «НАУКА» НОВОСИБИРСК 1992 УДК 512. 57 Многообразия алгебр/Д. М. Смирнов. — Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1992. — 205 с. ISBN 5-02-029968-5. Монография посвящена общей теории многообразий алгебр и эква- циональнои логике. Впервые излагается теория классов многообразий, определяемых так называемыми условиями Мальцева. Возникающая при этом решетка демонстрирует особую роль классических многообразий Поста. Большое внимание уделено геометрическим методам универсальной алгебры. Книга предназначена для специалистов в области алгебры и математической логики. Ил. 48. Библиогр. : 151 назв. Рецензенты кандидат физико-математических наук Д. А. Захаров доктор физико-математических наук Б. А. Палютин Утверждено к печати Институтом математики СО РАН CIg40O0O-16_5 202_92 „ полугодие © Д. М. Смирнов, 1992 © Российская Академия наук, 1992 ISBN 5-02-029068-5 Книга посвящается светлой памяти академика Анатолия Ивановича МАЛЬЦЕВА ПРЕДИСЛОВИЕ По своему содержанию книга относится к общей теории многообразий и эквациональной логике. Она написана на основе лекционного курса, прочитанного автором в Новосибирском государственном университете. После того как А. И. Мальцевым и А. Тарским была построена теория аксиоматизируемых классов алгебраических систем, в алгебре методами математической логики стала интенсивно разрабатываться теория многообразий, т. е. классов алгебр, определимых тождествами. Совершив-*- шийся в алгебре переход от числовых уравнений и числовых систем к общим системам (типа групп, булевых алгебр, решеток, колец, автоматов и т. п. ), которые могут быть заданы, как правило, при помощи тождеств, характерен и для прикладной алгебры, непосредственно связанной с новыми отраслями техники (см. , например, [Биркгоф, Барти, 1976]). . Понятие тождества в алгебре возникло в глубокой древности (вспомним, например, арифметические тождества коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности). Но роль тождеств по-настоящему была осмыслена лишь в послевоенные годы, когда в связи с бурным развитием электронной техники усилилось внимание математиков к формальным языкам. Тождества, истинные в данном классе алгебр, составляют так называемую зквациональную теорию этого класса. Изучение структурных свойств многообразий и вопросов базируемости эквациональных теорий является основной целью данной монографии. В книге А. И. Мальцева [1970] многообразиям посвящена отдельная глава. Однако с тех пор теория многообразий существенно изменилась. Она (привлекла большое число исследователей и стала центральным разделом универсальной алгебры. Наряду с теоретико-модельными методами в ней начали широко применяться теоретико-решеточные и геометрические методы. Накоплен ряд новых глубоких результатов и раскрыта первостепенная роль так называемых условий Мальцева и условий типа Мальцева.