Читать онлайн «Нелинейные локализованные волновые процессы»

ГЛАВА i ИНТЕНСИВНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В этой главе будем иметь дело исключительно с нелинейным уравнением Гельмгольца вида Ди + /"(|и|2)"=0. Функцию f будем считать вещественной, она имеет смысл квадрата нелинейного показателя преломления. Будем искать комплекс- нозначные асимптотические решения уравнения, сосредоточенные в узкой окрестности некоторой гладкой кривой I и имеющие смысл волн, бегущих вдоль /. Искомое решение интерпретируется как нелинейный стационарный волновой пучок, а линия /—как осевая линия этого пучка. Оказывается, что сосредоточенные в окрестности кривой решения могут быть построены не всегда. Поэтому целью главы является не только построение асимптотических решений, но и решение важного вопроса, в окрестности каких линий / эти решения могут быть построены. Нелинейное уравнение Гельмгольца является модельным уравнением нелинейной оптики и нелинейной теории волн в плазме [3,41, 37]. Другая классическая модель [80, 98] описания нелинейных волновых явлений связана с нелинейным уравнением Шредингера вместо нелинейного уравнения Гельмгольца и ведет к совершенно аналогичным асимптотическим решениям для волновых пучков. В главе получены явные формулы для различных параметров интенсивных пучков и разные варианты расчета их осевых линий. Для выявления эффектов, связанных с одновременным воздействием на волновые пучки нелинейности и неоднородности среды, разобран ряд важных частных случаев сред и функций f(\ u\ ). Существенное внимание уделено средам с насыщающейся нелинейностью и нелинейным средам волноводного типа. Изучены нелинейные эффекты при распространении волновых пучков в ионосфере. §1. Сосредоточенные вблизи кривых решения двумерного уравнения Гельмгольца Обращаемся к двум вариантам уравнения Гельмгольца в случае неоднородной среды: Ды+ш2Ф. ,2(Ы2,х)и = 0, ш »1, (1. 1) N Дм+ Ф. ,,(Ы2,ех) = 0, е«1. (1-2) В обоих уравнениях функция Ф. |2 положительна, х е R , д2 д2 , . А = —j + —j. Уравнение (1. 1) есть уравнение с малым параметром дх ду 8=ш~ при старших производных. Уравнение (1. 2) есть уравнение Гельмгольца для слабо неоднородной среды. Уравнения (1. 1) и (1. 2) эквивалентны, так как преобразование подобия х1 =ех переводит одно из уравнений в другое. Уже отмечалось, что уравнения (1. 1), (1. 2) и их частные случаи являются основными модельными уравнениями в нелинейной электродинамике и нелинейной оптике. Кроме того, они весьма часто встречаются и в задачах математической статистической физики, см. , например, [72, 85]. 1. Для определенности обратимся к асимптотическим при w -» оо решениям уравнения (1. 1). Будем искать комплекснозначные решения u(s, n, ш) этого уравнения, сосредоточенные в окрестности некоторой достаточно гладкой кривой и имеющие смысл волн, бегущих вдоль I, см. [19]. В окрестности кривой I введем обычную систему координат — длину дуги s и расстояние по нормали п. Длину / будем считать бесконечной, а координаты s, n—меняющимися от -оо до -к». Положим Ф. |2 (| и\ , х) = f{\ u\ , s, п).