Читать онлайн «Теория функций действительного переменного»

А. Л. БРУДНО Т Е О РИЯ функций Д ЕЙСТВИТЕЛЬНОГО П ЕРЕМЕННОГО А. Л. БРУДНО Теория Функций Действительного Переменного ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВ А 1971 517. г Б № УДК 517. 51 Теория функций действительного перемен- переменного. Брудно А. Л. Изд-во «Наука», Глав- Главная редакция физико-математической литерату- литературы, М. , 1971. Книга отличается экономностью изложе- изложения и естественностью определений, которые до- достигаются отделкой доказательств и специальным построением теории. Изложение ведется на кон- конкретном материале и прививает навыки само- самостоятельного обращения с изучаемыми объек- объектами. Главы «Теория множеств» и «Действительные числа» могут предшествовать серьезному курсу математического анализа. Дальнейшие главы книги излагают материал, обычно входящий в курс теории функций или «дополнительных глав анализа». Книга предназначена для студентов и ас- аспирантов математических отделений (универси- (университетов, пединститутов и вузов с математически- математическими специальностями). В книге 13 рисунков. 2-2-3 32-71 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Г л А в А 1 Теория множеств 7 § 1. Множества 7 § 2. Взаимно однозначное соответствие 10 § 3. Операции над множествами 12 § 4. Счетные множества 14 § 5. Мощность 20 § 6. Арифметика мощностей 23 § 7. Приложение арифметики мощностей ... . 30 § 8. Разбиение на классы 34 §9. 0 парадоксах теории множеств 35 глава 2 Действительные числа 37 § 1. Натуральные числа 37 § 2. Цель построения и ожидаемые свойства дей- действительных чисел 37 § 3. Определение действительных чисел 39 § 4. Верхняя граница и верхняя грань ... . 41 § 5. Отрицательные числа 44 § 6. Арифметические действия 44 Добавление к главе 2. Арифметические действия 45 Г Л А В А 3 Мера Лебега 55 § 1. Внешняя мера 55 § 2. Измеримость (определенно Каратеодори) 57 § 3. Аппроксимации но внешней мере 61 § 4. Измеримость (определение Небего). . . 61 § 5. Аппроксимации по мере 62 § 6. Покрытие Витали 64 § 7. Плотность 67 Г Л А В А 4 Измеримые функции 71 § 1. Определение и основные свойства измеримых функций 71 § 2. Аппроксимативная непрерывность ... . 80 § 3. Производные числа 82 Г Л А В А 5 Трансфиниты 94 § 1. Упорядоченные множества 94 § 2. Вполне упорядоченные множества ... 95 § 3. Длина 97 § 4. Построение множества следующей мощности 100 § 5. Трансфинитная индукция 103 § 6. Постулат выбора и теорема о полном упо- упорядочении 108 § 7. Приложения постулата выбора 110 § 8. Натуральный ряд 115 ПРЕДИСЛОВИЕ 1. Теория функций действительного переменного (ТФДП) появилась на рубеже 19—-20 веков. Она была вызвана потребностью обосновать математический анализ, затем сложилась в самостоятель- самостоятельную дисциплину и наконец, став основой математики в целом, породила несколько разделов математики. Методы ТФДП своеобразны —- они требуют в большей степени умения обращаться с объектами теории, нежели знания результа- результатов, или владения аппаратом.