Читать онлайн «Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений»

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Серия выпускается под общим руководством редакционной коллегии журнала «Успехи математических наук» ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ ОПЕРАТОР СДВИГА ПО ТРАЕКТОРИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 196S 517. 2 K78 УДК 519. 55 АННОТАЦИЯ Книга посвящена некоторым нелокальным пробле- проблемам теории нелинейных колебаний. В ней рассматри- рассматриваются неавтономные системы обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений и изучаются различные вопросы, связанные с периодическими и ограниченными реше- решениями. Значительная часть книги посвящена методам, не излагавшимся до сих пор в монографической ллтерагуре: методу направляющих функций доказательства сущест- существования периодических и ограниченных решений, иссле- исследованию положительных периодических решений, вы- выяснению связей между устойчивостью периодических решений и вогнутостью оператора сдвига, применению теории конусов для изучения периодических решений, рождающихся из состояния равновесия и др. Для удобства читателя в книге подробно описаны топологические и функционально-аналитическое поня- понятия, используемые при изучении периодических реше- решений дифференциальных уравнений. От читателя тре- требуется лишь знание общих фактов теории обыкновен- обыкновенных дифференциальных уравнений. Книга рассчитана на научных работников, аспиран- аспирантов и студентов-математиков и механиков, интересую- интересующихся теорией колебаний и к<1чественной теорией дифференциальных уравнений. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 8 I'лава 1. Оператор сдвига 11 § 1. Общий принцип существования периодических решений 11 1. 1. Оператор сдвига (И). 1. 2. Периодические решения и непо- неподвижные точки оператора сдвига A2). 1. 3. Предварительные замечания о единственности и нелокальной продолжимости реше- решений A3). 1. 4. Дифференциальные и интегральные неравен- неравенства A5). 1. 5. Полудифференцируемые функции A7). 1. 6. Тео- Теоремы единственности B0). 1. 7. Сглаживание правой части B3). 1. 8. Нелокальные теоремы существования B4). 1. 9. Еще об операторе сдвига B8). § 2. Дифференцирование оператора сдвига 29 2. 1. Матрица монодромии B9). 2. 2. Неоднородные линейные урав- уравнения C3). 2. 3. Производная оператора сдвига C5). 2. 4. Про- Производная на бесконечности C7). 2. 5. Производные высших поряд- порядков D0). § 3. Первые теоремы о существовании периодических решений 43 у f/j- к 3. 1. Принцип Боля—Брауэра D3). 3. 2. 'Существование периодических > ' решений D4). 3. 3. Примеры D8). И/'"Асимптотт<ч«То1'73йнёиТШё-- системы E1). 3. 5. Дополнительные замечания E3). <> 4. Существование положительных периодических реше- ний 4. 1. Конус и полууиорядочеппость E4). 4. 2. Линейные положитель- положительные операТОрТ,! \}Л). . 3. Квазисильно положительные линей- линейные операторы E8). 4. 4. Положительность оператора сдви- сдвиги F2) 4. 5. Существование неотрицательных периодических решений F7). 4. 6. Отталкивающие и притягивающие точки G2). 4. 7.