Читать онлайн «Математика и механика.»

T 29-5-4 Прот. ткк лги: БЮЛЛЕТЕНЬ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Выходит до секциям: А» Математика и механика. B. Физика» C. Химиям ,, - / D. Биология. / Ь*. География» геология. , F. Дстория н антропология* Каждая'работа выходит, как правило» отдельным выпуском. Выпуски соединяются в тона не секциям, размером в 15—20 печатных' листов/Цена одного тома 16 руб. . . Бюллетень можно получать в одной из двух серий; русской ft интернациональной. ~ч _ ^ г-- ^ '<: - * \. - -<-- \ Русская серия содержит все публикуемые в Бюллетене работы на русском языке* ' ~* -л Интернациональная серия (Sexie Internationale) содержит либо русские тексты статей в сопровождении резюме, на французском, английском, или немецком языке, либо полные переводы русского текста на один из указанных языков. О ПРОБЛЕМЕ CAUCHY ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ //. Г. ПЕТРОВСКИЙ (Москва) ОГЛАВЛЕНИЕ Стр- Введение 2 Глава I. Условие А и системы с постоянными коэфициентами. I Некоторые примеры. § 1. Необходимость условия А . . •* • 7 \ , § 2. Леммы ... ... . О ! : § 3. Доказательство существования решения задачи Cauchy при выполнении условия А 14 § 4. Доказательство единственности 19 § 5. Системы с постоянными коэфициентами 23 § 6. Случай одного уравнения с частной производной по t первого порядка 27 § 7. Пример неравномерной корректности 28 Глава II. Параболические системы § 1. Достаточность условия В 80 § 2. Построение матрицы Грина 34 § 3. Решение задачи Cauchy при помощи матрицы Грина в случае неоднородной системы . 44 § 4. Теорема об аналитичности решений для однородных параболических систем -46 § 5* Теорема об аналитичности для неоднородных параболических систем 49 § 6. Условие —В 51 Глава III. Системы Ковалевской I § 1. Основная теорема о приведении матрицы к каноническому виду . . 54 [ § 2. Гиперболические системы 62 t § 3. Условия некорректной постановки задачи Cauchy для систем Ковать . левской 65 *ч § 4. Пример некорректной постановки задачи Cauchy для системы Кова- 1 левской при условии, что все элементарные делители матрицы (116) Р- всегда только первой степени, корни же детерминанта матрицы (5) [ всегда действительны 65 р § 5, Случай чисто мнимых элементарных делителей выше 1-й степени матрицы (116) I 68 ", § 6. Об области однозначного определения решения системы Ковалев- [ ской данными Cauchy 69 \t § 7. Доказательство невозможности неравномерной корректности поста- ' новки задачи Cauchy для систем Ковалевской 70 [ § 8. Теорема об обратимости ♦ . 72 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе мы рассматриваем системы вида дЩui _ V V yi(Vfti *л>/л ** + к1 + "щ+кпЩ , л,™ — ii Zj ^ W » ь * ттг г dt l j-i (fe dt'dx^. -. toc,? + /i(<,x1,... ,Xn) (i=±l,... fiV). , (1). 2 означает суммирование по всем целым к8 ^ 0, сумма которых не <*в> превосходит некоторого числа М, причем fc0 < /ij и п^ > 0. Мы считаем функции Ац °* v ' "' , Д и щ комплексными функциями их действительных аргументов, причем Ац0' v "*' п зависят только от /, функции же fi могут зависеть от /и всех х* и определены при всех действительных Хь и при O^t^T; решения^, вообще говоря, комплексные, мы исследуем в той же области. Следуя идее J. Hadamard'a, развитой в* его книге „Le probleme de Cattchy* *), мы будем говорить, что задача Cauchy для системы (1) поставлена равномерно корректно на интервале (О, Т) *), если 1. Для всякой системы функций ч^\х19... , хп) (i = 1,... , N; к = О, 1,... , щ — 1), ограниченных на всей гиперплоскости (х1У •. . , хп) вместе со всеми их частными производными до некоторого конечного порядка L, всегда существует, одна и только одна система функций и%Л ограниченных вместе со всеми их частными производными^ достаточно высоких порядков, которые при всяком t из интервала 0<[/0< t^T удовлетворяют этой системе и при* t = tQ принимают вместе с их производными по t до (щ — \)-го порядки соответственно значения функций 9>f°. 2.