Читать онлайн «Вариационное исчисление»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СМИРНОВ, В. И. , КРЫЛОВ, В. И. , КАНТОРОВИЧ, Л. В. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИЗДйТЕЛЬСТШ* ЛЕНИНГРАД 1933 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга выпускается в качестве пособия для студентов математического и физического факультетов Ленинградского Университета. В ее основе лежат лекции, которые читались мною несколько лет тому назад студентам-физикам. Объем этих лекций был значительно меньше объема выпускаемой книги, которая, как мы уже упоминали, предназначается не только для физиков, но и для математиков. В связи с этим пришлось добавить большой новый материал. Вся эта книга составлена Л. В. Канторовичем и В. И. Крыловым. Главы I, IV и V написаны Л. В. Канторовичем, а главы II, III и VI — В. И. Крыловым. Вл. Смирное. Июнь 1933. ГЛАВА I. Уравнение Эйлера. § 1. Общие замечания. Предмет вариационного исчисления—это различного рода вопросы maxima и minima, в которых нужно определить вид одной или нескольких неизвестных функций. Началом разработки вариационного исчисления можно считать 1696 г. , когда Иоганн Бернулли поставил задачу о линии наискорейшего ската (брахистохроне). В решении этой задачи приняли участие лучшие математики того времени: Лейбниц, Ньютон, Яков Бернулли, Лопиталь. После этого в XVIII веке Эйлером и Лагранжем были даны общие методы решения задач вариационного исчисления. Их работу в XIX веке продолжили Лежандр, Коши, Якоби, Гаусс, Пуассон, Остроградский, Клебш и др. Однако, решения задач и методы вариационного исчисления до недавнего времени были все же неудовлетворительны и неполны, и лишь в конце XIX века работами Вейерштрасса и Гильберта было дано полное решение основных задач вариационного исчисления. §2. Две задачи. Рассмотрим два примера вариационных задач: I. ЗАДАЧА О НАИМЕНЬШЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. Среди линий, соединяющих две точки плоскости, найти ту, дуга которой при вращении около оси ОХ образует поверхность с наименьшей площадью. Пусть данные точки будут: А (х0, у0) и В (х\, yi) и пусть y — f(x) — уравнение линии, их соединяющей; тогда величина площади поверхности вращения выразится, как известно, интегралом Xi _____ 5 = 2 ^У у |/~1+У2 dx. 1 Таким образом, поставленная выше задача сводится к отысканию такой линии y — f (x)t проходящей через точки А и В, для которой величина S или, что то же самое, интеграл /=/ gy/l+g'*dx, достигает наименьшего значения. И. ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ. Найти среди линий, соединяющих две данные точки А и В, ту, двигаясь тго которой свободно пущенная материальная точка пройдет путь АВ в кратчайшее время. Примем первую точку А за начало координат и направим ось у вертикально вниз. Пусть у~/ (х) — уравнение кривой, соединяющей точку А со второй точкой В (*],*/]). Найдем время Т, нужное для прохождения тяжелой материальной точкой пути АВ при движении по этой кривой. Пусть движущаяся точка, в момент времени t, занимает положение М (х, у) и имеет скорость v; тогда по уравнению живой силы mv^ mgy > где m v^ приращение живой силы от t = О до ty так как в начальный момент скорость равна нулю, a mgy есть работа силы тяжести.