Читать онлайн «Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике»

Н. Н. БОГОЛЮБОВ Ю. А. М ИТРОП О Л ЬСКИЙ А. М. САМОЙЛЕНКО МЕТОД УСКОРЕННОЙ сходимости В НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИЗДАТЕЛЬСТВО „НАУМОВА ДУМКА |. |. 1вгея1Ш1, ю. и. митрошьский, А. М. САМОЙЛЕиЮ МЕТОД УСКОРЕННОЙ сходимости О НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ НИЕВ -1969 517. 2 В74 УДК 517. 93 Ответственный редактор академик АН УССР О. С. ПАРАСЮК. 2—2—3 67—69 М ПРЕДИСЛОВИЕ Монография посвящена изложению ряда новых результатов нелинейной механики, полученных с помощью модернизированного Н. Н. Боголюбовым метода последовательных замен переменных, обеспечивающего ускоренную сходимость. Метод последовательных замен, предложенный еще в 1934 г. Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, явился эффективным аппаратом для решения многих интересных задач нелинейной механики. В частности, этим методом решена задача о существовании квазипериодического режима с двумя основными частотами в нелинейных колебательных системах. Однако получаемые приближенные решения в общем случае содержали расходящиеся ряды. В последнее время в связи с появлением работ А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда Н. Н. Боголюбов модернизировал метод последовательных замен, в результате чего обеспечивается сходимость соответствующих разложений. Книга состоит из краткого введения и семи глав. В первой главе излагаются результаты, полученные Н. Н. Боголюбовым в 1963 г. в области развития метода последовательных замен и исследования квазипериодических решений в применении к неконсервативным системам (выясняется зависимость этих решений от параметра, указываются способы получения для них асимптотических и сходящихся рядов и т. д. ). Вторая глава посвящена изложению результатов, полученных Ю. А. Митропольским. В ней с помощью метода последовательных замен построено общее решение системы нелинейных уравнений, исследовано поведение этого решения в окрестности квазипериодического решения (устойчивость, притяжение к частному квазипериодическому решению и т. д. ). Для нелинейной системы уравнений решается вопрос о приводимости нелинейной системы к линейной с постоянными коэффициентами. Третья глава реферативная. В ней излагается техника сглаживания функций, дающая возможность перенести ряд результатов, полученных в первых двух главах для систем дифференциальных уравнений 5 с аналитическими правыми частями, на системы с дифференцируемыми правыми частями. В четвертой главе содержатся результаты, принадлежащие Ю. А. Ми- тропольскому и А. М. Самойленко в области исследования поведения траекторий на и-мерном торе в случае, если тор не аналитический, что имеет место в ряде задач нелинейной механики. Глава пятая посвящена исследованию приводимости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. В ней приведены результаты, полученные совместно Ю. А. Митропольским и А. М. Самойленко и относящиеся к построению и исследованию фундаментальной матрицы линейных систем с квазипериодическими коэффициентами, исследованию меры приводимых систем и др. Рассмотрены системы уравнений как с аналитическими правыми частями, так и с дифференцируемыми.