Читать онлайн «Функциональный анализ и его приложения. Том 5. Выпуск 4»

В нашем журнале публикуются оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы о конференциях и семинарах по функциональному анализу. Журнал выходит 4 раза в год. Максимальный объем статьи с подробными доказательствами— 20 стандартных машинописных страниц, краткого сообщения — 4 машинописные страницы. Том 5, выпуск 4, 1971 г. ОКТЯБРЬ —ДЕКАБРЬ Главный редактор журнала И. М. ГЕЛЬФАНД Редакционная коллегия: М. С. АГРАНОВИЧ, В. И. АРНОЛЬД (зам. главного редактора), А. А. КИРИЛЛОВ, А. Г. КОСТЮЧЕНКО, М. Г. КРЕЙН, М. М. ЛАВРЕНТЬЕВ, Б. я! ЛЕВИН, В. Б. ЛИДСКИЙ, С. Н. МЕРГЕЛЯН, Б. С. МИТЯГИН, М. А. НАЙМАРК, С. П. НОВИКОВ, Л. Д. ФАДДЕЕВ, 3. И. ХАЛИЛОВ, Г. Е. ШИЛОВ (зам. главного редактора). ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, тел. 234-07-95 Функциональный анализ и его приложения т. 5. , вып. 4, 1971, 1—8 О СТАЦИОНАРНЫХ ПОДГРУППАХ ТОЧЕК ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУПРОСТОЙ ГРУППЫ ЛИ Е. М. Андреев, В. Л. Попов 1. Мы будем для простоты предполагать, что основное поле k является полем комплексных чисел С, хотя все сформулированные ниже результаты справедливы для любого алгебраически замкнутого поля характеристики нуль. Все рассматриваемые алгебраические многообразия будут С-много- образиями, а топология — топологией Зарисского. Пусть G — алгебраическая группа, регулярно действующая на алгебраическом многообразии X. Мы будем говорить, что некоторое свойство выполняется для точек общего положения, если в X существует открытое множество, для каждой точки которого выполняется это свойство. В работе [1] было найдено достаточное условие того, что размерность орбиты точки общего положения совпадает с dim G, в предположении, что G — связная комплексная полупростая группа Ли, X является векторным пространством, а действие — линейное. В частности, для неприводимых представлений простых групп Ли размерность орбиты точки общего положения равна dim G тогда и только тогда, когда dimX>dimG. Будем обозначать через Gx стационарную подгруппу точки ^еХ, а через 0Х — ее орбиту. Очевидно, dim G = dim Gx + dim 0X. Поэтому, если,указанные в [1] достаточные условия выполнены, то стационарная подгруппа точки общего положения в X нульмерна, алгебраична, а потому конечна. Нас будет интересовать в этой статье вопрос о том, когда стационарная подгруппа точки общего положения в X тривиальна. Определение. Действие G на X называется свободным, если &х = {е} для всякой точки XGX. Действие называется локально свободным, если Gx = {е} для точки общего положения #eX. Мы будем предполагать далее, что G — связная полупростая группа и G aGL (N,k)y а также, что X — N-мерное векторное пространство kN, а действие — линейное, определенное указанным выше вложением. Обозначим через п размерность G, а через г — ее ранг. Пусть также <2£ — центр группы G, a S — подгруппа 35, состоящая из скалярных преобразований. Кроме того, мы рассмотрим проективное пространство Р^"1, ассоциированное ckN (т. е. мйогообразие прямых в kN, проходящих через нуль), а также естественное действие G на Р^"1.