Читать онлайн «Математика для экономистов. Руководство к решению задач. Интегральное исчисление»
Автор Владимир Бабайцев
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кафедра математики и финансовых приложений
В. А. Бабайцев, А. В. Браилов,
И. А. Винюков, П. Е. Рябов
МАТЕМАТИКА ДЛЯ
ЭКОНОМИСТОВ
Руководство к решению задач
Интегральное исчисление
Москва 2003
Рецензенты:
д. физ. -мат. н. , проф. А. Г. Попов (МГУ)
проф. В. Н. Салин (ФА)
Бабайцев В. А. , Браилов А. В. , Винюков И. А. , Рябов П. Е. Математика для
экономистов: Руководство к решению задач: Интегральное исчисление. М. : Финансовая
академия, 2003. 96 с. Данное пособие представляет собой переработку 6-й и 7-й глав "Сборника задач по курсу математики" издания 2001 г. В него
внесены изменения и дополнения в соответствии с новым Госстандартом по математике для общеэкономических специальностей.
В частности, введены параграф "Несобственные интегралы" и глава "Кратные интегралы". Пособие дополнено новыми примерами
и упражнениями, существенно расширен круг рассмотренных примеров, добавлены новые теоретические вопросы. Руководство предназначено в первую очередь для организации самостоятельной работы студентов по курсу
"Математика" во II семестре 1-го курса. ISBN 5-7942-0310-2 © Бабайцев В. А. © Браилов А. В. © Винюков И. В. © Рябов П. Е. © Финансовая академия
при Правительстве РФ, 2003
Глава 1
Неопределенный интеграл
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x), если выполняется равенство F'(x) = f(x). Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции
f(x) и обозначают символом ∫ f (x )dx . Таким образом,
∫ f (x )dx = F (x ) + C , если F'(x) = f(x),
где C − произвольная константа. Для непрерывной функции f(x) всегда существует первообразная, следовательно, и неопределенный
интеграл. Свойства неопределенного интеграла
∫ dF (x ) = F (x ) + C ; ∫ F ′(x )dx =F (x ) + C; d (∫ f (x )dx ) = f (x )dx .
∫ [ f1 (x ) + f 2 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx ;
∫ Cf (x )dx = C ∫ f (x )dx . Таблица интегралов
x n+1 dx dx 1
∫ x dx = + C , n ≠ −1; ∫ = 2 x +C ; ∫ 2 = − +C. n
1. n +1 x x x
dx
2. ∫ = ln x + C . x
ax
3. ∫ a dx =
x
+ C , a ≠ 1 ; ∫ e x dx = e x + C . ln a
4. ∫ cos xdx = sin x + C .
5. ∫ sin xdx = − cos x + C . dx
6. ∫ = tgx + C .
