Читать онлайн «Вариационное исчисление (задачи и упражнения)»

М. Л. Краснов, Г. ИМакаренко, А. И. Киселев ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи и упражнения Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики — вариационному исчислению. По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения». В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры. Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Предварительные замечания 5 Глава I. Экстремум функций многих переменных 7 § 1. Безусловный экстремум 7 § 2. Условный экстремум 15 Глава П. Экстремум функционалов 22 § 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22 § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 46 § 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 61 § 6. Инвариантность уравнения Эйлера 73 § 7. Поле экстремалей 76 § 8. Достаточные условия экстремума функционала 88 § 9. Условный экстремум 103 § 10. Вариационные задачи с подвижными границами 119 § 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации 131 § 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принципы механики 140 Глава III. Прямые методы вариационного исчисления 155 § 13. Конечно-разностный метод Эйлера 155 § 14. Метод Ритца. Метод Канторовича 157 § 15. Вариационные методы нахождения собственных значений и 164 собственных функций Ответы и указания 178 Литература 189 ПРЕДИСЛОВИЕ Современному инженеру часто приходится иметь дело с задачами, которые требуют от него хорошей математической подготовки и твердых навыков в применении разнообразных математических методов. Расширение математического кругозора инженеров немало способствует новым достижениям техники. Вариационное исчисление является одним из наиболее важных для приложений разделов классического математического анализа. В настоящее время в ряде втузов вариационное исчисление включено в обязательную программу курса высшей математики. Большое количество задач по вариационному исчислению содержится в известном сборнике задач Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина. Однако эти задачи, в большинстве своем довольно трудные, даны без указаний к их решению, поэтому начинающему они бывают часто не по силам. Много хороших задач рассеяно по многочисленным курсам вариационного исчисления, но некоторые из этих курсов стали библиографической редкостью. Авторы задались целью дать некоторый минимум задач по основным разделам классического вариационного исчисления и сознательно не касались вопросов, связанных с теорией оптимального управления. ^ 4 ПРЕДИСЛОВИЕ При составлении настоящего задачника авторы ориентировались в основном на книги Л. Э. Эльс- гольца «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление» и Л.