Читать онлайн «Теорема об h-кобордизме»

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА» Дж. МИЛНОР Теорема - об й-кобордизме Перевод с английского Э. Г. Б Е Л А Г И ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР » МОСКВА 1969 PRINCETON MATHEMATICAL NOTES LECTURES ON THE Л-COBORDISM THEOREM by JOHN MILNOR Notes by L. Siebenmann J. S о n do w PRINCETON, NEW JERSEY PRINCETON UNIVERSITY PRESS 1965 УДК 513. 836: 513,838 Новая книга Дж. Милнора, известного американского мате- математика, уже знакомого советскому читателю по переводу его ра- работы «Теория Морса», содержит изложение известной теоремы С. Смейла об Л-кобордизме и ее приложения к важным зада- задачам дифференциальной топологии. Книга написана ясным, до- доступным языком и может служить прекрасным введением в тео- теорию кобордизмов и до некоторой степени в общую дифференци- дифференциальную топологию. Поэтому настоящая монография представляет интерес не только для топологов, но и для математиков других специальностей. Она будет полезна студентам старших курсов, аспирантам и преподавателям университетов и пединститутов. Редакция литературы по математическим наукам. Инд. 2-2-3 24-69 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ «ИЗДАНИЮ В 1935 году М Морс заметил, что числа критиче- критических точек различных индексов гладкой функции на многообразии могут быт& использованы для изучения геометрических свойств этого многообразия. Напри- Например, если щ замкнутом многообразии М существует гладкая функция, имеющая всего две критические точ- точки: максимум и минимум, то это многообразие гомео- морфно сфере; если М — многообразие с краем, край которого dM есть объединение двух открытых непере- непересекающихся подмножеств N{ и N2, и если на М зада- задана гладкая функция, принимающая значения между О и 1, равная 0 на N\ и 1 на N2 и не имеющая крити- критических точек, . то N\ диффеоморфно N2 и М диффео- морфно NiX[0, 1]. Морсом были доказаны неравенства, связывающие числа критических точек с рангами и порядком кру- кручения групп гомологии многообразия. Более чем двадцать лет спустя С. Смейл установил, что на любом односвязном многообразии М достаточ- достаточно высокой размерности существует гладкая функция с минимальным числом критических точек, не проти- противоречащим неравенствам Морса. Среди большого чис- числа следствий из этого результата Смейла отметим обобщенную гипотезу Пуанкаре в размерностях, боль- больших или равных 5 (я-мерное гладкое односвязное многообразие, гомотопически эквивалентное га-мерной сфере, гомеоморфно n-мерной сфере), и теоредоу об /i-кобордизме (односвязные /г:кобордантные много- многообразия размерности, большей или равной 5, диффео- морфны; многообразия N\ и N2 называются /i-кобор- дантными, если существует многообразие М, такое, Предисловие к русскому изданию что dM = Ni\JN2 и N\ и /V2 являются деформационны- деформационными ретрактами многообразия М). Этот результат Смейла был как нельзя более свое- своевременным. В конце 50-х годов Дм. Милнор открыл, что на сфере размерности 7 (и больше) существуют различные гладкие структуры.