Читать онлайн «Геометрия точек и геометрия прямых.»

и. м. я г лом, доктор физико-математических наук, профессор ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК и ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ! Москва 1908 517,5 Л-29 ПРЕДИСЛОВИЕ За последние годы концепция Клейна, согласно которой геометрия изучает инварианты той или иной группы геометрических преобразований, приобрела известную популярность в нашей учебной литературе по математике; она обсуждалась неоднократно в книгах и статьях, рассчитанных на учащихся и преподавателей средней школы (см. список литературы на стр. 43—44). Однако при этом зачастую забывается , что одним л ишь указанием группы преобразований никакая ветвь геометрии еще не выделяется,— наряду с этим надо указать также и «образующий элемент» геометрии: однородное (клейновское) пространство задается указанием группы автоморфизмов и ее стационарной подгруппы (ср. ниже, стр. 35—42). Забвение этого обстоятельства приводит иногда к досадным недоразумениям: автор сам когда-то долго не мог понять встреченного в научной литературе утверждения о том, что проективная геометрия является одной из неэвклидовых геометрий Кэли—Клейна (это утверждение подразумевает, что за образующий элемент проективной геометрии йа плоскости принята пара «точка + прямая», о чем читатель не был своевременно предупрежден). И настоящая брошюра, возникшая из прочитанной некогда московским школьникам лекции, ставит qjpoefl целью разъяснение-той роли,- которую играет в геометрии понятие «образующего элемента». Самым трудным в брошюре, видимо, явится ее заключительный параграф, в известном смысле суммирующий содержание брошюры. Возможно, что некоторым читателям будет полезно перед чтением §5 ознакомиться с указанной на стр. 44 книгой П. С. Александрова [17]. Рукопись настоящей брошюры была внимательно прочитана В. Г. Болтянским* которого я рад поблагодарить за советы и замечания. Я благодарен также М. С. Королевой за помощь, оказанную мне при изготовлении эскизов чертежей. И. М. Я&юм Москва* январь 1968 г* § 1. ГЕОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Содержание каждой й^штяШйъ описать, указав те объекты* которые эта наука рассматривает, и те свойства этих объектов* которые изучаются ъ рамках интересующей нас науки. При этом изучаемые . той7 или иной наукой свойства всегда представляют собой только часть весьма многообразных свойств реальных объектов. Так, рассматриваемые в физике «физические свойства» тел касаются их масс, приложенных к ним сил, скоростей и ускорений движения, в котором участвует тело, и совсем не касаются внутреннего строения тела, элементов, из которых тело состоит: последнее относится уже к области химии, а не физики. Аналогично этому, скажем, натуральные числа первоначально возникли как характеристики произвольных (но конечных!) наборов каких- то предметов; однако математика интересует лишь одно свойство подобных наборов — число входящих в набор предметов: на пути отказа от изучения всех других свойств и возникла арифметика, игнорирующая все данные о совокупностях объектов, не связанные с числом индивидуальных объектов, входящих в данную совокупность. " Последний пример очень удобен тем, что он позволяет понять характер условий, выделяющих ту или иную совокупность свойств, представляющих интерес с точки зрения определенной научной дисциплины.