Читать онлайн «Делимость чисел и простые числа»

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В. Г, Болтянский, Г, Г, Лени mac § 1. Целые числа и действия над нити Множество целых чисел состоит из натуральных чисел 1, 2, 3, ... , нуля 0 и отрицательных целых чисел — 1, —2, —3, ... . В этом множестве всегда выполнимы операции сложения и вычитания. Иначе говоря, если /яия- целые числа, то их сумма т-\-п тоже является целым числом. Далее, для любых двух целых чисел ту п существует (и притом только одно) число х% удовлетворяющее уравнению п + х = т\ это число называется разностью чисел т и п и обозначается через т — п. Разность любых двух целых чисел тоже является целым числом. В множестве целых чисел всегда выполнимо и умножение, т. е. если т и п — целые числа, то их произведение тп тоже является целым числом. Однако деление (действие, обратное умножению) выполнимо в множестве целых чисел не всегда. Результат деления числа а на число Ь Ф 0 (частное от деления а на Ь) обозначается через а:ЬЫли у). Напомним, что частным от деления числа а на число b -фО называется число х% удовлетворяющее Уравнению такое число существует, и притом только одно. Однако частное от деления одного целого числа на другое'не всегда является целым числом. Например, частные 5:2, 2 : 5, (—40): 7, (—30): (—21) целыми числами не являются. 5 Это и означает, что деление не всегда выполнимо в множестве целых чисел: частное от деления целого числа а на целое число ЬфО может оказаться лежащим за пределами множества целых чисел, а в самом множестве целых чисел не найдется такого числа, которое мы могли бы назвать частным от деления а на Ь. Встречаются, конечно, и такие случаи, когда частное от деления одного целого числа на другое опять является целым числом. Например: 6 : (—2) = —3, 36 :12 = 3, (_5):5 = -Г. Определение. Если а и Ъ (где b ФО) — такие целые числа, что частное а: Ь тоже является целым числом, то говорят, что число а делится на Ъ. Можно сказать и иначе: целое число а делится на целое число b ^ О, если найдется такое целое число k, что a = kb. Этим определением делимости мы чаще всего и будем пользоваться в дальнейшем. Так как мы всюду будем говорить только о целых числах, то нередко для краткости будем писать просто «число», всегда подразумевая под этим целое число. Подчеркнем, что о частном а\Ъ мы можем говорить лишь при ЬфО. При 6 = 0 частное а: Ь не определено, т. е. выражениям а \ 0, -д- не придается никакого смысла. Короче, на нуль делить нельзя. Напротив, при а = 0 (и любом Ь^О) частное a i b определено (и равно нулю): | = 0 (при ЬфО). Так как в этом случае частное (т. е. нуль) является целым числом, то нуль делится на любое целое число, отличное от нуля (причем частное равно нулю). § 2. Теоремы о делимости Теорема 1. Если оба числа а и Ь делятся на т$ то и их сумма а + b и их разность а — b делятся на т. Действительно, так как а делится на т, то a = kmf где k — некоторое целое число. Точно так же 6 = /т, где / — некоторое целое число. Поэтому a + b = km + lm = (k + l)mf a — b = km — lm = (k — l)mt 6 откуда видно, что каждое из чисел а + Ь, а-& делится на т.