Читать онлайн «Множества конечные и бесконечные»

Мевдународный центр "Со£ус Ли" Б. Дубров, А. Сосинский МНОЖЕСТВА КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ Редакторы серии: Б. Комраков* L·Сосинский Препринт KI99I) Минск, 1991 Предисловие Настоящая брооюра — предварительная версия методического материала, предназначенного з перну» очередь для учащихся Мстема- m42js. . '2CKCZQ Колледжа СоФуса Ли, но может Сыть использована для самостоятельного изучения, а также при работе математических кружков. В любом случае, сьа не рассчитана ка пассивное чтение — вряд ли можно освоить предлагаемой материал (выходящий за рамю: школьной прогреммы). не реяая имеодиеся здесь упражнения (их сдодует решать при первом чтении) и звдечи (которые лучше пробовать рэшать после прочтения соответствующего параграфа). Для удобстве читателей, следуя французскому математику Н. Бур- баки, мы поставили на нашем пути по извилистым тропам математической науки Оорохные знаки. Δ Знак «разбитая дорога» означает, что нужно снизить скорость; у знака «стоянка» имеет смысл постоять, подумать, запомнить; из участке, где «крутой подъем», требуются дополнительные А, усилия; /^\ там, где знак «извилистая дорога», следует внимательно -у зписывзться в крутые повороты; Χλ jipyrae дорожные знаки используются резке, ко тоже имеют * естественный (в нашем контексте; смысл. I Наконец, этот знак обозкзчзет те места, где у нитателя дслжяо наступить «озарение». пет возможности указать все источники' задач, предложенных в этой броаюре. Однако авторы хотели бы особо отметить книги серии «Библиотека физико-математической литературы» под редакцией И. М. Гелфанда, особенно выпуски 3 и 2*. Авторы также благодарны Н. Можей и Л. Левину за помощь в процессе написания я набора этого текста и Е. ^охан за рисунки в книжке· Деревня Богута июнь-июль 1991 Авторы I J1. Что больше? Когда мы сравниваем два коночных множества, вопрос «Которое больше?» ю вызывает принципиальных затруднений: нужно о<За множество пересчитать и срашшть полученные числа. Но здесь мы Судем заниматься в основном оесконечяыми множествами, и не совсем ясно, как их пересчитывать. Тем не менее, поставить несколько вопросов можно: (1) Чего больае — натуральных чисел гли четных? * (1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ·. . ) {2. 4,6. 8. 10,... } (2) Где больше точек — на числовой прямой или на интервале (0. 1)? х/г ... н , 1 н , ^ -10 12 0 1 Рис. 1 (3) Что больае — множество точек с целыми координатами на прямой или множество точек на полуинтервале (0,1)? -2-1012 О 1 Рис. 2 Не заглядывая вперед, попробуйте ответить на эти тр: вопроса. Оки не так просты, как может показаться ка первый взгляд. $2. Грузите точки в ящики! В первый день математической школы, этим летом, один из нас должен был читать лекцию. Заглянул в аудиторию за пять минут до начала: доска есть, мел и тряпка токе, стулья и парты стоят, слушатели вроде все пришли с завтрака, оживленно разговаривают и ходят по аудитории. Но хватит ли стульев? Как ответить на этот вопрос? Что проще, схажет читагель, —- пересчитайте людей, пересчитайте стулья, если стульев не меньше,* то все в порядке. Ко так ли просто пересчитать полсотни людей, беспорядочно шныряющих по комнате?