Читать онлайн «Линейные представления конечных групп»

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР " Jean-Pierre Serre REPRESENTATIONS LINEAIRES DES GROUPES FINIS Collection Methodes HERMANN, PARIS 1967 Ж. -П. Серр ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Перевод с французского В. А. Псковских Под редакцией Ю. Я. Манина Издательство „МИР" МОСКВА 1970 УДК 519. 4 Автор — выдающийся французский математик, знакомый советскому читателю по русскому переводу его монографий «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968) и «Группы Ли и алгебры Ли» («Мир», 1969). С присущим ему мастерством он излагает классическую теорию представлений конечных групп над полем комплексных чисел и теорию Брауэра (теорию модулярных характеров). Книга представляет интерес для математиков различных специальностей, в первую очередь для специалистов по алгебре и функциональному анализу. Основная ее часть доступна студентам и аспирантам-математикам, а также физикам и химикам-теоретикам. Редакция литературы по математическим вопросам Индекс 2-2-3 13-70 ВВЕДЕНИЕ Эта книга состоит из трех частей, различающихся между собой как по уровню, так и по своей цели. Первая часть написана для химиков-теоретиков, В ней описано принадлежащее Фробениусу соответствие между линейными представлениями и их характерами. Речь идет о фундаментальных результатах, которые постоянно используются не только в математике, но и в квантовой химии и физике. Я пытался давать по возможности элементарные доказательства, используя только определение группы и начала линейной алгебры. Примеры (§ 5) подобраны таким образом, чтобы они были полезны химикам. Вторая часть представляет собой запись курса, прочитанного мною в 1966 году для студентов 2-го курса Эколь нормаль. Она дополняет первую следующими пунктами: а) степени представлений и свойства целознач- ности характеров (§ 6); б) индуцированные представления, теоремы Ар- тина и Брауэра и их применения (§ 7, 11); в) представления над полем характеристики нуль (§ 12). При этом используются средства линейной алгебры в несколько большем объеме, чем в первой части, а именно групповые алгебры, модули, некоммутативные тензорные произведения, полупростые алгебры. Третья часть — это текст моего доклада на семинаре Гротендика о теории Брауэра: переход из характеристики 0 в характеристику р (и обратно). Здесь я свободно пользуюсь языком абелевых категорий (проективными объектами, группой Гротендика), очень удобным в такого рода вопросах. 6 ВВЕДЕНИЕ Основные результаты: а) устанавливается (следуя Брауэру), что гомоморфизм разложения сюръективен: каждое неприводимое представление в характеристике р может быть поднято «виртуально» (т. е. в надлежащей группе Гротендика) в характеристику 0; б) доказывается теорема Фонга — Суона, позволяющая отбросить слово «виртуально» в предыдущем утверждении, если рассматриваемая группа р-разре- шима- Кроме того, указываются некоторое приложения этих результатов к представлениям Артина. Мне приятно поблагодарить Гастона Верть* и Жозьян Серр, которые позволили мне воспроизвести здесь текст части I, предназначенный для приложения к их книге «Квантовая химия», Ива Балоско, который восстановил текст II части по лекционным заметкам, Александра Гротендика, который позволил мне поместить здесь изложение одного из докладов на его семинаре по алгебраической геометрии в Институте высших научных исследований (IHES) 1965/66г.