Читать онлайн «Обзорные лекции по высшей алгебре»

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Московский государственный заочный педагогический институт М. М. ГЛУХОВ ОБЗОРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДИНСТИТУТОВ под редакцией А. С. Солодовникова Издательство «ПРОСВЕЩЕНИЕ» Москва 1964 ПРЕДИСЛОВИЕ Данный курс лекций предназначается в качестве пособия для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов, готовящихся к сдаче государственного экзамена. В связи с этим он содержит все вопросы раздела алгебры, предусмотренные программой государственных экзаменов по математике (специальность — математика), утвержденной Министерством просвещения РСФСР. Вместе с тем, учитывая характер обзорных лекций, мы включили в данный курс некоторые вопросы, не вошедшие в указанную программу, но которые являются важными или для понимания других вопросов, или для практической деятельности учителя математики. К таким вопросам относятся, например, вопросы, связанные с равносильностью уравнений и систем уравнений, а также с решением алгебраических неравенств. При изложении материала мы руководствовались объяснительной запиской к программе, в которой в частности сказано: «Ответ студента по каждому вопросу должен включать наряду с полным освещением всех пунктов вопроса и их взаимосвязи также и доказательство по крайней мере одного из формулируемых им предложений». В соответствии с этим при рассмотрении каждого вопроса часть утверждений приводили с полными доказательствами, а некоторые утверждения лишь формулировали и выясняли их значения. Мы старались давать определения подавляющего большинства возникавших понятий и во многих случаях иллюстрировать их примерами. В заключение автор приносит глубокую благодарность Н. Я. В и- ленкину, А. С. Солодовникову и Ю. И. Соркину за ряд ценных советов и замечаний. ВВЕДЕНИЕ Исторически алгебра возникла как наука о решении уравнений. В этих рамках она развивалась в основном до середины XIX века. В начале XIX века, в связи с задачей о разрешимости алгебраических уравнений выше четвертой степени с одним неизвестным в радикалах, появилось важнейшее в современной алгебре понятие группы. Термин «группа» впервые был введен французским математиком Эваристом Галуа (1811—1832) в 1830 году. Галуа указал для каждого уравнения некоторую группу подстановок, по которой можно узнать наиболее существенные свойства уравнения, и в частности о его разрешимости в радикалах. Хотя понятие группы и было введено в алгебру в связи с теорией уравнений, однако это понятие позволило в дальнейшем алгебре перерасти рамки науки об уравнениях и превратиться в науку об алгебраических операциях над элементами множеств любой природы, в которой теория уравнений занимает весьма скромное место. Появление в алгебре понятия группы можно сравнить с таким поистине революционным событием в математике, как «открытие» буквенной символики, связанное с именем французского математика Виета (1540—1603).