Читать онлайн «О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций»

Алгебра и логика,, 39, N 1 (2000), 74—86 УДК 512. 542 О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С АБЕЛЕВЫМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ*) В. Д. МАЗУРОВ Памяти Виктора Александровича Горбунова Введение В работе указываются две характеризаций проективных линейных групп PGL2(P) над локально конечным полем Р характеристики 2, пер­ вая — в терминах групп подстановок, вторая — в терминах строения цен­ трализаторов инволюций. Одна из этих характеризаций используется для построения примеров бесконечных групп, распознаваемых по множеству порядков их элементов. Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в кото­ рой стабилизатор двух точек коммутативен и не содержит инволюций. Тогда существует поле Р характеристики 2 такое, что группа G подоб­ на проективной линейной группе PGL2(P) в ее естественном действии на проекти&ной прямой Р U {оо}. С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в ко­ торой стабилизатор двух точек периодичен и не содержит инволюций. Если стабилизатор трех точек тривиален, то существует локально ко­ нечное поле Р характеристики 2 такое, что группа G подобна проектив­ ной линейной группе PGL/2{P) в ее естественном действии на проектив­ ной прямой. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550. © Сибирский фонд алгебры и логики, 2000  О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций 75 Следствие 1 обобщает хорошо известную теорему Цассенхауза [1] о конечных точно трижды транзитивных группах нечетной степени (см. так­ же [2, теор. XI. 2. 1]). В связи с теоремой 1 и ее следствием уместно задать ВОПРОС 1. Можно ли в теореме 1 ослабить условие коммутатив­ ности стабилизатора двух точек до условия тривиальности трехточеч­ ного стабилизатора? Инволюция t группы G называется конечной (в G), если для любо­ го элемента g £ G порядок коммутатора [t,g] — ttg конечен. Это условие эквивалентно тому, что для любой инволюции г 6 G порядок элемента U конечен. Как легко понять, в периодической группе каждая инволюция конечна. Следствие 1 используется при получении абстрактной характе- ризации групп PGL2(P): ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа, содержащая конечную инво­ люцию t, и пусть централизатор любой инволюции из G — абелева 2-группа. 1. Если централизатор Co(t) инволюции t в G содержит инволю­ цию, отличную от t, то выполняется одно из следующих условий: 1. 1. Подгруппа Сс{Ъ) нормальна в G; 1. 2. Подгруппа CG(£) элементарная абелева. 2. Если Со (t) ~ элементарная абелева группа, то выполняется одно из следующих условий: 2. 1. Имеет место равенство G = A(t), где А — абелева периодиче­ ская подгруппа без инволюций и а1 = а"1 для любого элемента а & А; 2. 2. G является расширением абелевой 2-группы посредством груп­ пы без инволюций; 2. 3.