Читать онлайн «О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп»

Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371 УДК 512. 54 О ^-ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ р-ГРУПП Е. И. ХУХРО Введение Изучение действия группы на абелевой (под)группе часто дает важ­ ную информацию о группе. Например, порядок конечной нильпотентной группы ограничен в терминах порядка ее максимальной нормальной абе­ левой подгруппы. Другой пример: (секционный) ранг конечной р-группы ограничен в терминах ранга ее максимальной нормальной абелевой под­ группы. В настоящей работе мы рассматриваем действие р-группы G на абелевой р~группе А (предполагая, что G < AutA и считая А правым ZG-модулем). Целью является установление связи между периодами ядер индуцированного действия группы G на элементарных р-группах А/рА и Q>i(A) = {х 6 А | рх = 0}; эти ядра мы обозначаем через Св(А/рА) и CG(QI(A)) соответственно. В некоторых хорошо известных ситуациях А/рА и Qi(A) изоморфны как ZG-модули и тогда, конечно, Со(А/рА) = = CG(QI(A)); например, если А является прямой суммой циклических групп одного порядка, то Со{А/рА) = CG{&I(A)) — пересечение G с со­ ответствующей главной конгруэнц-подгруппой. В общей ситуации модули А/рА и £2i(A) могут быть неизоморфны. Тем не менее, полученные ре­ зультаты показывают, что если период у одного из ядер Со(А/рА) или CG(OI (А)) конечен, то и другое ядро имеет конечный период, причем огра­ ниченный в терминах первого. Кроме того, эти ядра будут нильпотентны. © Сибирский фонд алгебры и логики, 2000 360 Е. И. Хухро Поскольку результаты несколько отличаются при р = 2, удобно ввести фиксированное обозначение: е = 0, если р ф 2, и е = 1, если р = 2. Т Е О Р Е М А 1. Предположим, что G ~ р-группа автоморфизмов абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(A/AP) имеет конечный период р*, то под­ группа CG(&I{A)) имеет конечный период ^ р**€, где f удовлетворяет неравенству / ^ р*~*~г. оо (б) Если р | р%А = 0 и подгруппа CG(&I(A)) имеет конечный пе- ршх? p s , то подгруппа CG{A/AP) имеет конечный период ^ р**£} где f удовлетворяет неравенству f ^ pf~8~l. Т Е О Р Е М А 2. Предположим, что G — р-группа автоморфизмов абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(&I(A)) имеет конечный период рп} то под­ группа CG{&I(A)) {или CG(&I(A))2 при р = 2) нильпотентна ступе­ ни ^ п. оо (б) Если f] р*А = 0 и подгруппа CG(A/AP) имеет конечный пери- одрп, то подгруппа CG(A/AP) (или CG(A/AP)2 прир = 2) нильпотентна ступени ^ п. Сплетение Ср<х> I G квазициклической группы с произвольной р-группой G показывает, что условие на Л в частях (б) теорем 1, 2 опустить нельзя (его, видимо, следует рассматривать как двойственное условию пе­ риодичности).