Читать онлайн «Интегрируемые системы - 1»

УДК 512. 77+517. 912+517. 958 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ. I. Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков СОДЕРЖАНИЕ Введение 179> Глава 1. Гамнльтоновы системы. Классические методы интегриро- интегрирования 181 § 1. Общее понятие скобки Пуассона. Важнейшие примеры . . 181' § 2. Интегралы и понижение порядка гамнльтоновых систем. Систе- Системы с снмметрнямн 196 § 3. Теорема Лнувнлля. Переменные действие — угол ... . 207 § 4. Уравнение Гамильтона — Якобн. Метод разделения перемен- переменных — классический метод интегрирования и нахождения перемен- переменных действие — угол ... 21Г Глава 2. Современные представления об интегрируемости эволю- эволюционных систем 214 § 1. Коммутационные представления эволюционных систем . . . 214 § 2. Алгебро-геометрнческая интегрируемость конечномерных Я-пучков 227 § 3. Гамнльтонова теория гнперэллнптнческнх Я-пучков ... . 244 § 4. Важнейшие примеры систем, интегрируемых в двумерных тэта- функциях 251 § 5. Полюсные системы 262' § 6. Интегрируемые системы н алгебро-геометрнческая спектральная теория линейных периодических операторов 266 Литература 277' ВВЕДЕНИЕ Интегрируемые системы, не имеющие «очевидной» группо- групповой симметрии, начиная с результатов Пуанкаре—Брунса кон- конца прошлого века, воспринимались как экзотика. Их весьма не- незначительный список до шестидесятых годов XX века практи- практически не менялся. Хотя ряд основных методов математической: физики базировался, по-существу, на ' анализе теории возму- возмущений простейших интегрируемых примеров, представления о структуре нетривиальных интегрируемых систем реального влияния на развитие физики не оказывали. Положение коренным образом изменилось с открытием метода обратной задачи. Все возрастающий интерес к этому 12* 179- методу связан с тем, что он оказался применим к ряду нелиней- нелинейных уравнений математической физики, которые, как стало ясно к середине шестидесятых годов, обладают замечательным свойством универсальности. Они возникают при описании (в простейшем, после линейного, приближении) самых разнооб- разнообразных явлений в физике плазмы, теории элементарных частиц, теории сверхпроводимости, нелинейной оптике и в ряде других задач, сводимых к пространственно одномерным. К числу таких уравнений относятся уравнение Кортевега-де Фриза, нелиней- нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение sine-gordon и многие другие. Метод обратной задачи позволил впервые обнаружить и понять ряд принципиально новых эффектов, которые не прояв- проявлялись ни в каком порядке теории возмущений. Наиболее яр- яркие и важные из них связаны с понятием солитонов и их перио- периодических аналогов (о которых в значительной степени будет идти речь дальше). Концепция солитонов стала одной из основ- основных в современной нелинейной физике. Хотя впоследствии после работ [46], [113] стало ясно, что уравнения, к которым применим метод обратной задачи, яв- являются гамильтоновыми и, более того, полевыми аналогами вполне интегрируемых гамильтоновых систем, интегрирование этих уравнений в рамках метода обратной задачи не использу- использует гамильтоновой теории.