Читать онлайн «Дифференциальные уравнения»

Электронный архив УГЛТУ Л. А. Золкина Е. С. Плотникова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Екатеринбург 2012 47  Электронный архив УГЛТУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра высшей математики Л. А. Золкина Е. С. Плотникова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и индивидуальные домашние задания для студентов всех специальностей Екатеринбург 2012  Электронный архив УГЛТУ Печатается по рекомендации методической комиссии ФЭУ Протокол № 2 от 2 сентября 2011 г. Рецензент – С. С. Рублева – доцент кафедры высшей математики УГЛТУ Редактор Е. Л. Михайлова Оператор компьютерной верстки Упорова Т. В. Подписано в печать 25. 10. 12 Поз. 110 Печать плоская Формат 60х84 1/16 Тираж 10 экз. Заказ № Печ. л. 2,79 Цена р. к. Редакционно-издательский отдел УГЛТУ Отдел оперативной полиграфии УГЛТУ 2  Электронный архив УГЛТУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальным называется уравнение, связывающее независи- мую переменную х, функцию у и все её производные до n-го порядка: F  x, y , y ', y '',... , y ( n )   0 . Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной. Например, F  x, y, y '  0 – дифференциальное уравнение 1-го по- рядка, F  x, y , y ', y ''   0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция f(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка F  x; y; y '  0 – общий вид уравнения. Если уравнение разрешено относительно производной y', то его можно представить как y '  f  x; y . Общее решение уравнения имеет вид y    x; C  , где С – произ- вольная постоянная. Если полученное решение не разрешено относительно у, то его называют общим интегралом Ф  x; y; C   0 . Частное решение получается, если придать постоянной С конкрет- ное числовое значение. Для этого ставятся начальные условия, то есть за- даётся значение функции у в некоторой точке x  x0 , а именно, y ( x0 )  y0 . Задача, в которой требуется найти частное решение, удовле- творяющее начальному условию y ( x0 )  y0 , называется задачей Коши. Рассмотрим типы уравнений 1-го порядка. 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен- ными f1  x  g1  y  y ' f 2  x  g 2  y   0 – общий вид. g1  y  f2  x   g  y dy   f  x  dx  C 2 1 – общий интеграл.