Читать онлайн «Лекции о неподвижных точках»

В. И. Данилов ЛЕКЦИИ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ Данилов В. И. , Лекции о неподвижных точках. Эти четыре лекции, посвященные неподвижным точкам, входили в курс математики для студентов Российской Экономической Школы. В первой обсуждается принцип сжимающих отображений и его применения. Вторая посвящена формулировке и различным модификациям теоремы Брауэра. В третьей приводятся применения теоремы Брауэра к равновесиям в играх и экономиках, к ядрам кооперативных игр. В последней обсуждаются различные подходы к доказательству теоремы Брауэра. Danilov V. I. , Lectures on fixed points. These 4 lectures are devoted to fixed points formed a part of the course of mathematics for Russian Economics School. In the first lecture the contructing map principle and its applications is discussed. The second one is devoted to a formulation and various modifications of Brouwer theorem. In the third we give applications of Brouwer theorem to equilibria in games, economics and cores of cooperative games. In the last lecture the numerous approaches to proving Brouwer theorem are discussed. В этих лекциях, посвященные неподвижным точкам, я хотел бы не только рассказать о теоремах существования и их применениях, но и дать представление о методах и приемах математических рассуждений. 2  Лекция 1 НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И СЖИМАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОНЯТИЕ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. Несомненно, это одно из самых простых и фундаментальных понятий: оно требует лишь представления о множестве и отображении. Пусть дано отображение f:X → X множества X в себя. Неподвижной точкой f называется любой такой элемент x ∈ X, для которого f(x )=x . Иначе говоря, неподвижная точка остается на месте при отображении f. Чуть допуская вольность, можно сказать, что неподвижные точки f - это точки пересечения графика f с диагональю в X×X. Понятие неподвижной точки встречается во многих, чуть ли не во всех задачах. Например, любое уравнение F(x)=0 можно свести к неподвижной точке, переписав его в виде F(x)+x=x. Вот менее тавтологический пример: Пусть имеется дифференциальное уравнение dy/dt =ϕ (y,t), где ϕ - непрерывная функция, и y(·) - его решение, проходящее через точку (t0,y0) (это значит просто, что y(t0)=y0). Тогда для любого t из соответствующего интервала выполняется соотношение t y(t) = y0 + ∫ ϕ(y(s),s)ds . t0 Иначе говоря, функция y является неподвижной точкой отображения A, заданного формулой t (Ay)(t) = y0 + ∫ ϕ(y(s),s)ds . t0 Я тут замял одну вещь - то пространство или множество, на котором задан оператор A. Это не случайно. Обычно или ясно, что это за множество, или, напротив, есть много разных возможностей, которыми можно удачно распорядиться. В нашем случае естественнее всего взять в качестве множества пространство непрерывных функций (на соответствующем интервале); тогда надо еще убедиться, что оператор A преобразует непрерывные функции в непрерывные.