Читать онлайн «Введение в выпуклыи? анализ и целочисленное программирование»

Н. Н. Петров ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Ижевск 2009 0  Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» Н. Н. ПЕТРОВ ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Ижевск 2009  УДК 519. 8 ББК 22. 162 П 30 Рецензент: доктор физ. -мат. наук Ю. П. Чубурин (Физико- технический институт УрО РАН). Петров Н. Н. П 30. Ведение в выпуклый анализ: учеб. пособие. Ижевск, 2008. 168 с. Пособие посвящено основным понятиям выпуклого анализа. УДК 519. 8 ББК 22. 162 c Петров Н. Н. ,2009 ° c Удмуртский государственный университет, 2009 °  СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ В работе используются следующие обозначения: Rn — стандартное евклидово пространство размерности n; (x, y) — скалярное произведение векторов x, y ∈ Rk ; kxk — норма вектора x; Dr (z) = {x : kx − zk 6 r}; — замкнутый шар радиуса r с центром в точке z; Dr0 (z) = {x : kx − zk < r}; — открытый шар радиуса r с центром в точке z; Sr (z) = {x : kx − zk = r}; — сфера радиуса r с центром в точке z; Aε = A + Dε0 (0) — эпсилон окрестность множества A; IntA — внутренность множества A; A — замыкание множества A; ∂A — граница множества A; dim A — размерность множества A; affA — аффинная оболочка множества A; coA — выпуклая оболочка множества A; riA — относительная внутренность множества A; lex min A — лексикографический минимум множества A; extA — совокупность всех крайних точек множества A; conA — коническая оболочка множества A; H − , H + — замкнутые полупространства, определяемые ги- перплоскостью H; |M | — число элементов множества M ; diamA — диаметр множества A, diamA = sup kx − yk; x,y∈A h(A, B) — расстояние по Хаусдорфу между множествами A и B; c(A, ϕ) — опорная функция множества A; rangG — ранг матрицы G; gradf — градиент функции f ; trX — след матрицы X; suppf — носитель функции f ; 3  Ω(Rn ) — совокупность всех ограниченных подмножеств про- странства Rn ; K(Rn ) — совокупность всех компактных подмножеств про- странства Rn ; coK(Rn ) — совокупность всех выпуклых компактных подмно- жеств пространства Rn ; 4  ПРЕДИСЛОВИЕ Выпуклым анализом называют раздел математики, в котором изучаются выпуклые множества и функции. Понятие выпукло- сти играет важную роль в различных областях фундаменталь- ной и прикладной математики. Выпуклый анализ находит мно- гочисленные приложения в вариационном исчислении и матема- тической теории управления, в дифференциальных играх, теории приближений и экономике. В настоящее время имеется достаточное количество замеча- тельной монографической литературы по выпуклому анализу и его приложениям.