Читать онлайн «Вэйвлет-анализ»

Ноябрь 1996 г. Том 166, № 11 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ОБЗОРЫ АКТУАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения Н. М. Астафьева Представлены основы теории вейвлет-преобразования — аппарата, хорошо приспособленного для изуче- изучения структуры неоднородных процессов. В отличие от преобразования Фурье, анализирующая функция которого покрывает всю временную ось, двухпараметрическая анализирующая функция одномерного вейвлет-преобразования хорошо локализована и во времени, и по частоте. Возможности преобразования показаны на примерах анализа модельных рядов с хорошо известными свойствами {гармонических, с различными особенностями, фрактальных) и данных длительных наблюдений за изменением некоторых метеорологических характеристик {индекс Южного Колебания, глобальные и полушарные температу- температуры). Анализ ряда событий Эль-Ниньо и изменений индекса Южного Колебания выявил периодические компоненты процесса, ряд локальных периодичностей и временные масштабы, на которых данные имеют автомодельную структуру. Похоже, в целом анализируемый процесс демонстрирует комбинированное поведение: есть стохастическая и ряд регулярных компонент. Временные структуры глобальной и полушарных температур качественно схожи. Основное различие состоит в том, что потепление {тренд) слегка значительнее и начинается раньше в Северном полушарии {возможная причина этого — большее количество суши); излом тренда в начале текущего столетия, связываемый обычно с техноген- техногенным фактором, не обнаружен. PACS numbers: 02. 30. -f, 02. 90. + р, 92. 60. -е, 92. 60. Ry Содержание 1. Ведение A145). 2. От преобразования Фурье к вейвлет-преобразованию A146). 2. 1. Ряды Фурье. 2. 2. Разложение по вейвлетам. 2. 3. Обратное вейвлет-преобразование. 2. 4. Частотно-временная локализация. 3. Базисные функции вейвлет-преобразования A150). 3. 1. Определение вейвлета. 3. 2. Признаки вейвлета. 3. 3. Примеры вейвлетобразующих функций. 4. Свойства и возможности вейвлет-преобразования A153). 4. 1. Способы представления результатов. 4. 2. Свойства вейвлет- преобразования. 4. 3. Некоторые возможности вейвлет-анализа. 5. Применение вейвлет-преобразования к модельным сигналам A157). 5. 1. Гармоническая функция. 5. 2. Сигнал с особенностью. 5. 3. Фрактальное множество. 6. Анализ временных метеорологических рядов A162). 6. 1. Процесс Южное Колебание — Эль-Ниньо (ЮКЭН). 6. 2. 500 лет из жизни Эль-Ниньо. 6. 3. Среднемесячные значения индекса Южного Колебания. 6. 4. Суточные значения индекса Южного Колебания. 6. 5. Глобальные температуры и ЮКЭН. 7. Заключение A169). Список литературы A170). 1. Введение Термин "вейвлет" (дословный перевод — маленькая волна) появился сравнительно недавно — его ввели Гроссман и Морле (Grossman & Morlet) в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов [1]. В настоящее время семейство анализаторов, названных вейвлетами1, начинает широко применяться в задачах распознавания образов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений самой различной природы (это могут быть изображение радужной обо- оболочки глаза, рентгенограмма почки, спутниковые изо- изображения облаков или поверхности планеты, снимок минерала и т. п. ); для изучения свойств турбулентных полей; для свертки (упаковки) больших объемов инфор- информации и во многих других случаях.