Читать онлайн «Введение в динамику одномерных отображений»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова В. Ш. Бурд ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика Ярославль 2006 УДК 517. 925 ББК В16я73 Б 91 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2006 года. Рецензенты: д-р физ. -мат. наук, проф. В. Ф. Бутузов; кафедра математического анализа Ярославского государственного педагогического университета Бурд, В. III. Введение в динамику одномерных отображений: учебное пособие / В. Ш. Бурд; Яросл. гос. ун-т. - Ярославль: Б 91 ЯрГУ, 2006. - 104 с. ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6) Книга посвящена изложению основ теории одномерных дискретных динамических систем - одному из самых эффективных методов исследования нелинейных процессов. Вводятся основные понятия и доказываются основные теоремы. Рассматриваются вопросы бифуркации и устойчивости периодических орбит, их сосуществования. Подробно исследованы наиболее простые нелинейные отображения интервала. Учебное пособие по дисциплине „Дифференциальные уравнения" (блок ОПД) предназначено студентам специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения. Рис. 14. Библиогр. : 32 назв. УДК 517. 925 ББК В16я73 ISBN 5-8397-0491-1 © Ярославский (978-5-8397-0491-6) государственный университет им. П. Г. Демидова, 2006 © Бурд В. Ш. , 2006 Оглавление Предисловие 5 1. Основные понятия и теоремы 7 1. 1. Введение 7 1. 1. 1. Вспомогательные сведения из анализа 8 1. 2. Основные определения 15 1. 2. 1. Топологическая сопряженность 18 1. 2. 2. Грубые отображения 20 1. 3. Локальные бифуркации 22 1. 4. Глобальные бифуркации 31 1. 5. Производная Шварца и притягивающие циклы 38 2. Семейство квадратичных отображений 45 2. 1. Каскад бифуркаций удвоения 45 2. 2. Цикл периода 3 и число неустойчивых циклов 53 2. 3. Динамика отображения f(x) = 4х(1 — х) 58 2. 4. Динамика отображения /(х, г) = гх{1 — х) при г > 4 69 2. 4. 1. Пространство последовательностей из двух символов ... 73 2. 4. 2. Отображение сдвига в Σ2 и отображение f(x^r) при г > 2 + л/5 76 Приложения 79 Приложение 1. Асимптотика одномерных итераций 79 Приложение 2. Совершенные нигде не плотные множества на вещественной прямой 84 Приложение 3. Гиперболические множества и отображение f(x,r) = гх{1 — х) при г > 4 88 3 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Приложение 4. Одно кусочно-линейное разрывное отображение . 93 Приложение 5. Цикл периода 3 и хаос 95 Приложение 6. Фрактальная размерность множеств 95 Приложение 7. Показатель Ляпунова 99 Литература 102 Предисловие В основу настоящего учебного пособия положен специальный курс, который читается автором студентам специальности "Прикладная математика". Цель пособия - дать доступное студентам 3-4 курсов введение в круг вопросов, связанных с поведением нелинейных дискретных динамических систем, определяемых одномерными отображениями.