Читать онлайн «Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов»

Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль 2001 В. И. Арнольд Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов мцнмо Москва 2001 УДК 514. 74 Проведение летней школы «Современная мате- ББК 22. 15 матика» и издание настоящей брошюры осуще- Д84 ствлено при поддержке Московской городской Думы и Московского комитета образования. Арнольд В. И. А84 Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов. — М. : МЦНМО, 2001. — 80 е. : ил. ISBN 5-94057-012-7 Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплекти- ческой и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящей книге. По материалам этой книги автором был прочитан миникурс участникам Летней школы «Современная математика» (школьникам старших классов и студентам I— II курсов) в Дубне 17—26 июля 2001 года. Книга представляет интерес для широкого круга подготовленных читателей, интересующихся математикой. ББК 22. 15 © Арнольд В. И. , 2001. ISBN 5-94057-012-7 © МЦНМО, 2001. Введение Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Простейшим примером задачи гессиановой топологии является вопрос о том, сколько компонент связности может иметь параболическая кривая графика многочлена данной степени от двух переменных. Например, для многочлена четвертой степени число компонент линии нулей гессиана не больше четырех, но многочлен с четырьмя компактными компонентами неизвестен. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящем обзоре. Из этой теории вытекает, например, что пространство однородных многочленов четвертой степени f(x, у), второй дифференциал которых в каждой ненулевой точке имеет гиперболическую сигнатуру (+, —), связно. Доказательство этого факта, описанное ниже, опирается на лемму, которую я обнаружил экспериментально, а затем доказал при некоторых специальных значениях входящих в задачу параметров.