Читать онлайн «Об одном методе решения классической вариационной задачи»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5 УДК 517. 95 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ Т. И. Зеленяк, Н. А. Люлько Аннотация: Рассматривается классическая задача вариационного исчисления: на- R1 хождение минимума функционала F (x, y, yx )dx в пространстве гладких функций, 0 удовлетворяющих некоторым граничным условиям. Теорема о существовании аб- солютного минимума доказывается с помощью теории квазилинейных параболиче- ских уравнений второго порядка. Приводятся примеры, на которых анализируются условия, наложенные в теореме. Библиогр. 11. В задаче о нахождении экстремумов функции f (x) хорошо известна роль уравнения [1, с. 429] xt = − grad f (x). В вариационном исчислении параболическое уравнение d ut = Fu (x, u, ux ) − Fu (x, u, ux ) (1) dx x играет аналогичную роль для задачи о нахождении минимума функционала Z1 J(y) = F (x, y, yx ) dx (2) 0 в пространстве функций y(x) ∈ C 1 [0, 1], удовлетворяющих одному из условий: (а) y(0) = α, y(1) = β; (б) y(0) = α; (в) y(x) ∈ C 1 [0, 1]. Здесь F (x, ξ, η) — заданная функция, определенная на множестве G = {0 ≤ x ≤ 1, −∞ < ξ, η < +∞}, Fηη > 0; α, β — произвольные вещественные числа. Задача о нахождении минимума функционала (2) в классе абсолютно непре- рывных функций, удовлетворяющих условию (а), подробно исследована в рабо- те Л. Тонелли [2]. Он доказал ряд теорем о достижении абсолютного минимума в этом классе при условии, что для любого числа M > 0 найдутся константы Y > 0, γ > 0 такие, что F (x, y, yx ) > |yx |1+γ при 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≤ M , |yx | ≥ Y [2, с. 376]. При наличии такой оценки на F теорема существования абсолютного минимума этой вариационной задачи в пространстве гладких функций доказа- на в работе [3]. В [4, 5] исследуются свойства абсолютно непрерывных функций, доставляющих минимум рассматриваемому функционалу. c 2000 Зеленяк Т. И. , Люлько Н. А. Об одном методе решения вариационной задачи 1061 Л. Тонелли [2] рассмотрел и особый случай, когда γ = 0 в оценке на функ- цию F . Для задачи Zx2 min F (x, y, yx ) dx, y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 (3) y x1 им доказана [2, с. 370] Теорема 1. Пусть функция F (x, ξ, η) определена, дважды непрерывно дифференцируема по всем переменным на множестве G и для нее справедливо неравенство F ≥ δ|η| − K, (4) где δ > 0, K — постоянные.