Читать онлайн «Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2000. Том 41, № 1 УДК 512. 54 ШИРИНА СТЕПЕНИ СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ СТУПЕНИ ДВА Е. Г. Смирнова Аннотация: Вычислена ширина произвольной степени Nn2 t свободной нильпотент- ной группы Nn2 конечного ранга n ≥ 2 ступени 2. Доказано, что для четного t она равна 2[n/2] + 1, а для нечетного t равна 1. Библиогр. 16. Введение Пусть G — произвольная группа, wG — ее вербальная подгруппа, опреде- ленная словом w. Шириной wid(g, w) элемента g ∈ wG относительно слова w назовем наименьшее число l такое, что g представим как произведение l зна- чений слов w±1 в группе G. Определим ширину произвольного подмножества M ⊆ wG как wid(M, w) = max wid(g, w). Заметим, что wid(M, w) может быть g∈M бесконечной. Понятие ширины вербальной подгруппы wG идет от Ф. Холла. Термин «ширина», как и приведенное выше обозначение, ввел Ю. И. Мерзляков в [1] (см. также [2, § 12]). Зарубежные авторы используют также термины «эл- липтическая» для вербальных подгрупп конечной ширины и «параболическая» для вербальных подгрупп бесконечной ширины. Через Nnk будем обозначать свободную нильпотентную группу ранга n сту- пени k, а через Mn — свободную метабелеву группу ранга n. Пусть A обознача- ет многообразие всех абелевых групп, Nk — многообразие всех нильпотентных групп ступени не больше чем k, P — класс всех полициклических групп и F — класс всех конечных групп. Через C D обозначим произведение классов групп C и D, т. е. класс всех групп, являющихся расширениями групп из класса C с помощью групп из класса D, через (x, y) — коммутатор x−1 y −1 xy. Приведем основные известные результаты о ширине вербальных подгрупп. 1. Ширина wid(Mn0 , (x, y)) коммутанта свободной метабелевой группы ко- нечного ранга n конечна, а бесконечного ранга бесконечна. Первое утверждение фактически доказано А. И. Мальцевым в [3], второе следует из результатов работ [4–6]. 2. Ширина произвольной вербальной подгруппы wG алгебраической груп- пы матриц G конечна. Это теорема Ю. И. Мерзлякова [1] (см. также [2]). 3. Если G ∈ A Nk — конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа wG имеет конечную ширину. Этот результат принадлежит Строуду — ученику Ф. Холла, погибшему вскоре после защиты диссертации [7], в которой есть его доказательство. Оно Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 98–01–00932). c 2000 Смирнова Е. Г. Ширина степени группы ступени два 207 известно специалистам. Основным утверждением в нем является теорема (ее можно найти в [8]), согласно которой некоторый член нижнего центрального ряда группы G пересекается с ее центром по единице. Автора познакомил с теоремой Строуда профессор В. А. Романьков. 4. Если G ∈ A C — конечно порожденная разрешимая группа, где C — класс, в котором каждая конечно порожденная группа удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп, то ее коммутант G0 имеет конечную ширину относительно слова (x, y).